Enunciado

Calcular a área entre o arco da hipociclóide

x = 3 cos 3 ⁡ t y = 2   s e n 3   t   , t   ϵ   [ 0 , π 2 ]

e a reta x + y = 3 .

Passo 1

Primeiro devemos analisar a área do arco da hipociclóide:

A = ∫ t 0 t y t ⋅ x ' ( t ) d t

x ' = - 9 cos 2 ⁡ t ⋅ s e n   t

A 1 = ∫ π 2 0 3   s e n 3   t ⋅ - 9 cos 2 ⁡ t ⋅ s e n   t   d t = - 27 ∫ π 2 0 s e n 4   t ⋅ cos 2 ⁡ t d t

A 1 = - 27 ∫ π 2 0 ( s e n 4 t ⋅ 1 - s e n 2 t d t = - 27 ∫ π 2 0 s e n 4   t - s e n 6   t d t

Integrando:

A 1 = - 27 1 6 s e n 5 t ⋅ cos ⁡ t - 1 24   s e n 3 t ⋅ cos ⁡ t - 1 16 s e n   t ⋅ cos ⁡ t + t 16

Aplicando os limites, temos:

A 1 = - 27 1 6 ⋅ 0 - 1 24 ⋅ 0 - 1 16 ⋅ 0 - π 32 = 27 π 32

Passo 2

Agora devemos analisar a área da reta x + y = 3 :

y = 3 - x

A 2 = ∫ 0 3 ( 3 - x ) d x

Integrando:

A 2 = 3 x - x 2 2

Aplicando os limites, temos:

A 2 = 3 ⋅ 3 - 3 2 2 = 9 - 9 2 = 9 2

Passo 3

Para finalizar subtraímos A 1 de A 2 , já que A 2 vem por cima como podemos ver no gráfico traçado.

A = A 2 - A 1 = 9 2 - 27 π 32 = 144 - 27 π 32

Resposta

144 - 27 π 32   u .   c

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