Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A - Capítulo 8.4 - Ex. 34

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Calcular a área da região limitada pelas seguintes curvas, dadas na forma paramétrica.

x = 2 cos 3 ⁡ t y = 2   s e n 3   t e x = 2 cos ⁡ t y = 2   s e n   t

Passo 1

A = ∫ t 0 t y t ⋅ x ' t d t

x ' = - 2   s e n   t

x ' = 6 cos 2 ⁡ t ⋅ ( - s e n   t )

A = 4 ∫ 0 π 2 2   s e n   t ⋅ -   2   s e n   t   d t - ∫ 0 π 2 2   s e n 3   t ⋅ 6 cos 2 ⁡ t ⋅ ( - s e n   t )   d t

A = 4 - 4 ∫ 0 π 2   s e n 2   t d t + 12 ∫ 0 π 2 s e n 4   t ⋅ cos 2 ⁡ t   d t

Integrando o primeiro termo:

∫ s e n 2   t d t = 1 2 t - 1 2 s e n   2 t

A = 4 - 4 ⋅ 1 2 t - 1 2 s e n   2 t 0 π / 2 + 12 ∫ 0 π 2 s e n 4   t ⋅ cos 2 ⁡ t   d t

Aplicando os limites no primeiro termo, temos:

A = - 4 π + 48 ∫ 0 π 2 s e n 4   t ⋅ cos 2 ⁡ t   d t

Integrando o segundo termo:

∫ 0 π 2 s e n 4   t ⋅ cos 2 ⁡ t   d t = ∫ 0 π 2 s e n 4   t ⋅ 1 - s e n 2   t d t = ∫ 0 π 2 s e n 6   t ⋅ s e n 4   t   d t

∫ 0 π 2 s e n 4   t ⋅ cos 2 ⁡ t   d t = 48 - 1 6 s e n 5   t ⋅ cos ⁡ t + 5 6 ∫ s e n 4   t d t - ∫ s e n 4   t   d t

∫ 0 π 2 s e n 4   t ⋅ cos 2 ⁡ t   d t = 48 - 1 6 s e n 5   t ⋅ cos ⁡ t - 1 6 ∫ s e n 4   t d t

∫ 0 π 2 s e n 4   t ⋅ cos 2 ⁡ t   d t = 8 - s e n 5   t ⋅ cos ⁡ t - - 1 4   s e n 3   t ⋅ cos ⁡ t + 3 8 t - 3 16   s e n   2 t

Aplicando os limites no segundo termo, temos:

∫ 0 π 2 s e n 4   t ⋅ cos 2 ⁡ t   d t = 8 - s e n 5   t ⋅ cos ⁡ t - - 1 4   s e n 3   t ⋅ cos ⁡ t + 3 8 t - 3 16   s e n   2 t 0 π 2

= 8 0 - 0 + 3 8 π 2 - 0 - 0 - 0 + 0 - 0 = 3 π 2  

Voltando par a a área

A = - 4 π + 48 ⋅ 3 π 2 = 68 π

Resposta

68 π

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