Enunciado

Calcule a integral indefinida:

int (x + 1)^2 sqrt(x^2 + 1) d x

Passo 1

Para resolver essa integral vamos fazer uma substituição trigonométrica, temos que a expressão é da forma sqrt(x^2 + a^2) , nesse formato de expressão vamos fazer x = a tg theta e utilizar a identidade trigonométrica 1 + tg^2 theta = sec^2 theta :

x = tg theta

d x = sec^2 theta d theta

Substituindo temos:

int (x + 1)^2 sqrt(x^2 + 1) d x = int (tg theta + 1)^2 sqrt(tg^2 theta + 1) sec^2 theta d theta =

= int (tg^2 theta + 2 tg theta + 1) sqrt(tg^2 theta + 1) sec^2 theta d theta

Agora usando a identidade trigonométrica:

int (tg^2 theta + 2 tg theta + 1) sqrt(tg^2 theta + 1) sec^2 theta d theta = int (tg^2 theta + 2 tg theta + 1) sqrt(sec^2 theta) sec^2 theta d theta =

= int (tg^2 theta + 2 tg theta + 1) sec theta sec^2 theta d theta = int (tg^2 theta + 2 tg theta + 1) sec^3 theta d theta

Vamos fazer umas manipulações para ficar mais simples de calcular:

int (tg^2 theta + 2 tg theta + 1) sec^3 theta d theta = int (tg^2 theta + 1) sec^3 theta d theta + int 2 tg theta sec^3 theta d theta =

= int sec^2 theta sec^3 theta d theta + int 2 tg theta sec^3 theta d theta = int sec^(5 ) theta d theta + int 2 tg theta sec^3 theta d theta

Passo 2

Para calcular a primeira integral vamos usar a fórmula da Recorrência:

int sec^n u d u = (1)/(n - 1) sec^(n - 2) u tg u + (n - 2)/(n - 1) int sec^(n - 2) u d u

Aplicando vamos ter:

int sec^5 theta d theta = (1)/(5 - 1) sec^(5 - 2) theta tg theta + (5 - 2)/(5 - 1) int sec^(5 - 2) theta d theta

int sec^5 theta d theta = (1)/(4) sec^3 theta tg theta + (3)/(4) int sec^3 theta d theta

Vamos usar a fórmula da Recorrência novamente nessa nova integral:

int sec^3 theta d theta = (1)/(3 - 1) sec^(3 - 2) theta tg theta + (3 - 2)/(3 - 1) int sec^(3 - 2) theta d theta

int sec^3 theta d theta = (1)/(2) sec theta tg theta + (1)/(2) int sec theta d theta

int sec^3 theta d theta = (1)/(2) sec theta tg theta + (1)/(2) ln |sec theta + tg theta|

Passo 3

Para calcular a segunda integral vamos usar substituição:

u = sec theta

d u = sec theta tg theta d theta

Aplicando vamos ter:

int 2 tg theta sec^3 theta d theta = int 2 sec theta tg theta sec^2 theta d theta = int 2 u^2 d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Aplicando:

int 2 u^2 d u = 2 int u^2 d u = 2 (u^(2 + 1))/(2 + 1) + C = 2 (u^3)/(3) + C = (2 u^3)/(3) + C

Passo 4

Pronto, agora vamos juntar tudo:

int (x + 1)^2 sqrt(x^2 + 1) d x = int sec^(5 ) theta d theta + int 2 tg theta sec^3 theta d theta =

= (1)/(4) sec^3 theta tg theta + (3)/(4) int sec^3 theta d theta + int 2 u^2 d u =

= (1)/(4) sec^3 theta tg theta + (3)/(4) ((1)/(2) sec theta tg theta + (1)/(2) ln |sec theta + tg theta|) + (2 u^3)/(3) + C =

= (1)/(4) sec^3 theta tg theta + (3)/(8) sec theta tg theta + (3)/(8) ln |sec theta + tg theta| + (2 u^3)/(3) + C

Passo 5

Calma, não terminou ainda, vamos ter que voltar para a variável original x :

int (x + 1)^2 sqrt(x^2 + 1) d x = (1)/(4) sec^3 theta tg theta + (3)/(8) sec theta tg theta + (3)/(8) ln |sec theta + tg theta| + (2 u^3)/(3) + C =

= (1)/(4) sec^3 theta tg theta + (3)/(8) sec theta tg theta + (3)/(8) ln |sec theta + tg theta| + (2 sec^3 theta)/(3) + C

Temos que x = tg theta , assim vamos usar o triângulo retângulo abaixo para achar sec theta e tg theta :

Assim os valores de se c theta e tg theta são:

se c theta = (1)/(cos theta) = (1)/((1)/(sqrt(x^2 + 1))) = sqrt(x^2 + 1)

tg theta = (x)/(1) = x

Pronto, ficamos então com:

int (x + 1)^2 sqrt(x^2 + 1) d x = (1)/(4) sec^3 theta tg theta + (3)/(8) sec theta tg theta + (3)/(8) ln |sec theta + tg theta| + (2 sec^3 theta)/(3) + C =

= (1)/(4) (sqrt(x^2 + 1))^3 x + (3)/(8) (sqrt(x^2 + 1)) x + (3)/(8) ln |sqrt(x^2 + 1) + x| + (2 (sqrt(x^2 + 1))^3)/(3) + C =

= (1)/(4) x (x^2 + 1) sqrt(x^2 + 1) + (3)/(8) x sqrt(x^2 + 1) + (3)/(8) ln |sqrt(x^2 + 1) + x| + (2 (x^2 + 1) sqrt(x^2 + 1))/(3) + C

Resposta

int (x + 1)^2 sqrt(x^2 + 1) d x =

= (1)/(4) x (x^2 + 1) sqrt(x^2 + 1) + (3)/(8) x sqrt(x^2 + 1) + (3)/(8) ln |sqrt(x^2 + 1) + x| + (2 (x^2 + 1) sqrt(x^2 + 1))/(3) + C

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