Calcule a integral indefinida:

∫ x + 1 2 x 2 + 1 d x

Passo 1

Para resolver essa integral vamos fazer uma substituição trigonométrica, temos que a expressão é da forma x 2 + a 2 , nesse formato de expressão vamos fazer x = a tg ⁡ θ e utilizar a identidade trigonométrica 1 + tg 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ :

x = tg ⁡ θ

d x = sec 2 ⁡ θ d θ

Substituindo temos:

∫ x + 1 2 x 2 + 1 d x = ∫ tg ⁡ θ + 1 2 tg 2 ⁡ θ + 1 sec 2 ⁡ θ d θ =

= ∫ tg 2 ⁡ θ + 2 tg ⁡ θ + 1 tg 2 ⁡ θ + 1 sec 2 ⁡ θ d θ

Agora usando a identidade trigonométrica:

∫ tg 2 ⁡ θ + 2 tg ⁡ θ + 1 tg 2 ⁡ θ + 1 sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ tg 2 ⁡ θ + 2 tg ⁡ θ + 1 sec 2 ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ =

= ∫ tg 2 ⁡ θ + 2 tg ⁡ θ + 1 sec ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ tg 2 ⁡ θ + 2 tg ⁡ θ + 1 sec 3 ⁡ θ d θ

Vamos fazer umas manipulações para ficar mais simples de calcular:

∫ tg 2 ⁡ θ + 2 tg ⁡ θ + 1 sec 3 ⁡ θ d θ = ∫ tg 2 ⁡ θ + 1 sec 3 ⁡ θ d θ + ∫ 2 tg ⁡ θ sec 3 ⁡ θ d θ =

= ∫ sec 2 ⁡ θ sec 3 ⁡ θ d θ + ∫ 2 tg ⁡ θ sec 3 ⁡ θ d θ = ∫ sec 5   ⁡ θ d θ + ∫ 2 tg ⁡ θ sec 3 ⁡ θ d θ

Passo 2

Para calcular a primeira integral vamos usar a fórmula da Recorrência:

∫ sec n ⁡ u d u = 1 n - 1 sec n - 2 ⁡ u tg ⁡ u + n - 2 n - 1 ∫ sec n - 2 ⁡ u d u

Aplicando vamos ter:

∫ sec 5 ⁡ θ d θ = 1 5 - 1 sec 5 - 2 ⁡ θ tg ⁡ θ + 5 - 2 5 - 1 ∫ sec 5 - 2 ⁡ θ d θ

∫ sec 5 ⁡ θ d θ = 1 4 sec 3 ⁡ θ tg ⁡ θ + 3 4 ∫ sec 3 ⁡ θ d θ

Vamos usar a fórmula da Recorrência novamente nessa nova integral:

∫ sec 3 ⁡ θ d θ = 1 3 - 1 sec 3 - 2 ⁡ θ tg ⁡ θ + 3 - 2 3 - 1 ∫ sec 3 - 2 ⁡ θ d θ

∫ sec 3 ⁡ θ d θ = 1 2 sec ⁡ θ tg ⁡ θ + 1 2 ∫ sec ⁡ θ d θ

∫ sec 3 ⁡ θ d θ = 1 2 sec ⁡ θ tg ⁡ θ + 1 2 ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ

Passo 3

Para calcular a segunda integral vamos usar substituição:

u = sec ⁡ θ

d u = sec ⁡ θ tg ⁡ θ d θ

Aplicando vamos ter:

∫ 2 tg ⁡ θ sec 3 ⁡ θ d θ = ∫ 2 sec ⁡ θ tg ⁡ θ sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ 2 u 2 d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Aplicando:

∫ 2 u 2 d u = 2 ∫ u 2 d u = 2 u 2 + 1 2 + 1 + C = 2 u 3 3 + C = 2 u 3 3 + C

Passo 4

Pronto, agora vamos juntar tudo:

∫ x + 1 2 x 2 + 1 d x = ∫ sec 5   ⁡ θ d θ + ∫ 2 tg ⁡ θ sec 3 ⁡ θ d θ =

= 1 4 sec 3 ⁡ θ tg ⁡ θ + 3 4 ∫ sec 3 ⁡ θ d θ + ∫ 2 u 2 d u =

= 1 4 sec 3 ⁡ θ tg ⁡ θ + 3 4 1 2 sec ⁡ θ tg ⁡ θ + 1 2 ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ + 2 u 3 3 + C =

= 1 4 sec 3 ⁡ θ tg ⁡ θ + 3 8 sec ⁡ θ tg ⁡ θ + 3 8 ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ + 2 u 3 3 + C

Passo 5

Calma, não terminou ainda, vamos ter que voltar para a variável original x :

∫ x + 1 2 x 2 + 1 d x = 1 4 sec 3 ⁡ θ tg ⁡ θ + 3 8 sec ⁡ θ tg ⁡ θ + 3 8 ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ + 2 u 3 3 + C =

= 1 4 sec 3 ⁡ θ tg ⁡ θ + 3 8 sec ⁡ θ tg ⁡ θ + 3 8 ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ + 2 sec 3 ⁡ θ 3 + C

Temos que x = tg ⁡ θ , assim vamos usar o triângulo retângulo abaixo para achar sec ⁡ θ e tg ⁡ θ :

Assim os valores de se c ⁡ θ e tg ⁡ θ são:

se c ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ = 1 1 x 2 + 1 = x 2 + 1

tg ⁡ θ = x 1 = x

Pronto, ficamos então com:

∫ x + 1 2 x 2 + 1 d x = 1 4 sec 3 ⁡ θ tg ⁡ θ + 3 8 sec ⁡ θ tg ⁡ θ + 3 8 ln ⁡ sec ⁡ θ + tg ⁡ θ + 2 sec 3 ⁡ θ 3 + C =

= 1 4 x 2 + 1 3 x + 3 8 x 2 + 1 x + 3 8 ln ⁡ x 2 + 1 + x + 2 x 2 + 1 3 3 + C =

= 1 4 x x 2 + 1 x 2 + 1 + 3 8 x x 2 + 1 + 3 8 ln ⁡ x 2 + 1 + x + 2 x 2 + 1 x 2 + 1 3 + C

Resposta

∫ x + 1 2 x 2 + 1 d x =

= 1 4 x x 2 + 1 x 2 + 1 + 3 8 x x 2 + 1 + 3 8 ln ⁡ x 2 + 1 + x + 2 x 2 + 1 x 2 + 1 3 + C

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