Calcular ∬ R f x ,   y d x d y , onde:

b) f(x, y) = y \* e^(xy) ; R é o retângulo 0 <= x <= 3 / 0 <= y <= 1

Passo 1

Queremos integrar a função f x ,   y = y e x y na região 0 ≤ x ≤ 3 e 0 ≤ y ≤ 1 .

Passo 2

Podemos escrever a integral da seguinte forma:

∫ 0 1 ∫ 0 3 y e x y d x d y

Resolvemos primeiro em função de x , pois é mais simples que em função de y .

∫ 0 1 ∫ 0 3 y e x y d x d y = ∫ 0 1 ∫ 0 3 y e x y d x d y = ∫ 0 1 e x y 0 3 d y

Aplicando os limites de integração:

∫ 0 1 e x y 0 3 d y = ∫ 0 1 e 3 y - e 0 d y = ∫ 0 1 e 3 y - 1 d y

Agora resolvemos a integral simples em função de y .

∫ 0 1 e 3 y - 1 d y = 1 3 e 3 y - y 0 1

Aplicando os limites de integração:

1 3 e 3 y - y 0 1 = 1 3 e 3 - 1 - 1 3 e 0 = 1 3 e 3 - 1 - 1 3 = e 3 - 4 3

Temos então que:

∫ 0 1 ∫ 0 3 y e x y d x d y = e 3 - 4 3

Resposta

∫ 0 1 ∫ 0 3 y e x y d x d y = e 3 - 4 3

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