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Nos exercícios 17 a 34, determinar os pontos críticos das funções dadas, classificando-os, quando possível.

26. f x ,   y = x 3 + 3 x y 2 - 15 x - 12 y

Passo 1

Então galera, para encontrarmos os pontos críticos da função que nos foi dada basta derivarmos parcialmente a função em relação a x e a y e, em seguida, igualar as funções a zero! A função que nos foi dada é a seguinte:

z = x 3 + 3 x y 2 - 15 x - 12 y

Derivando em relação a x :

∂ z ∂ x = 3 x 2 + 3 y 2 - 15

Derivando em relação a y :

∂ z ∂ y = 6 x y - 12

Igualando ambas as equações a zero, teremos:

x 2 + y 2 = 5 x y = 2

Da segunda equação temos que y = 2 x , certo? Aplicando na primeira equação, teremos:

x 2 + 2 x 2 = 5

x 4 - 5 x 2 + 4 = 0

Utilizando as noções de equações biquadradas, temos que:

x = ± 2   e   x = ± 1

Fazendo uma combinação entre os pontos, teremos que os pontos críticos serão: 1 ,   2 ,   - 1 ,   - 2 ,   2 ,   1   e   - 2 ,   - 1 .

Passo 2

Para classificarmos se os pontos críticos se tratam de pontos de máximo ou pontos de mínimo, devemos determinar as derivadas parciais de segunda ordem para, em seguida, utilizar o determinante Hessiano da função z = f x ,   y que temos, tudo bem? As derivadas serão:

∂ f ∂ x = 3 x 2 + 3 y 2 - 15

∂ 2 f ∂ x 2 = 6 x

Para y :

∂ f ∂ y = 6 x y - 12

∂ 2 f ∂ y 2 = 6 x

Para as derivadas mistas:

∂ 2 f ∂ y ∂ x = 6 y

∂ 2 f ∂ x ∂ y = 6 y

Tudo bem, as derivadas foram encontradas!

Passo 3

Agora que encontramos as derivadas parciais, temos que o determinante será:

H x ,   y = ∂ 2 f ∂ x 2 x ,   y ∂ 2 f ∂ y ∂ x x ,   y ∂ 2 f ∂ x ∂ y x ,   y ∂ 2 f ∂ y 2 ( x ,   y )  

Agora teremos que analisar o determinante para cada ponto crítico que encontramos, tudo bem? Sendo assim:

H 1 ,   2 = 6 x 6 y 6 y 6 x = 36 x 2 - 36 y 2 = 36 - 144 = - 108 < 0

Pelas proposições estudadas, como o determinante deu menor do que zero, então 1 ,   2 é um ponto de sela.

H - 1 ,   - 2 = 6 x 6 y 6 y 6 x = 36 x 2 - 36 y 2 = 36 - 144 = - 108 < 0

Pelas proposições estudadas, como o determinante deu menor do que zero, então - 1 ,   - 2 também é um ponto de sela.

H 2 ,   1 = 6 x 6 y 6 y 6 x = 36 x 2 - 36 y 2 = 144 - 36 = 108 > 0

∂ 2 f ∂ x 2 2 ,   1 = 6 x = 12 > 0

Pelas proposições estudadas, como o determinante e a derivada parcial de segunda ordem no ponto deram valores positivos, então temos que 2 ,   1 é um ponto de mínimo. Por fim:

H - 2 ,   - 1 = 6 x 6 y 6 y 6 x = 36 x 2 - 36 y 2 = 144 - 36 = 108 > 0

∂ 2 f ∂ x 2 - 2 ,   - 1 = 6 x = - 12 < 0

Pelas proposições estudadas, como o determinante deu positivo e a derivada parcial de segunda ordem no ponto deu negativo, então temos que ( - 2 ,   - 1 ) é um ponto de máximo.

Ufa! Demorou, mas estão aí nossos pontos críticos e suas classificações!

Resposta

Pontos críticos: 1 ,   2 ,   - 1 ,   - 2 ,   2 ,   1   e   - 2 ,   - 1 ;

Classificação: Ponto de sela, ponto de sela, ponto de mínimo e ponto de máximo, respectivamente.

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