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Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi - Capítulo 12.4 - Ex. 1i

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Calcule

∫ 1 x 1 + x 2 d x

Passo 1

A função dentro da integral é:

f x = 1 + x 2

Não parece muito familiar?

Na verdade a resolução pra esse tipo de função é chamada substituição trigonométrica e funciona assim:

A gente pega um triângulo retângulo com ângulo θ como esse:

Agora imagine que um dos catetos vale 1, e o outro cateto vale x , concorda comigo que a hipotenusa vai valer 1 + x 2 ?

Então que substituição poderíamos fazer?

Bem, se dissermos que 1 + x 2 1 = sec ⁡ θ então x 1 = tan ⁡ θ → d x = 1 sec 2 ⁡ θ d θ

Assim podemos substituir a integral dessa forma:

∫ 1 x 1 + x 2 d x = ∫ 1 tan ⁡ θ sec ⁡ θ × sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ sec ⁡ θ tan ⁡ θ d θ = ∫ 1 cos ⁡ θ × cos ⁡ θ sin ⁡ θ d θ

= ∫ 1 sin ⁡ θ d θ = ∫ csc ⁡ θ d θ

Ótimo! Agora podemos calcular essa integral de maneira mais fácil

Passo 2

Agora só precisamos achar o valor de ∫ csc ⁡ θ d θ

Pra isso vamos fazer assim:

∫ csc ⁡ θ csc ⁡ θ - cot ⁡ θ csc ⁡ θ - cot ⁡ θ   d θ = ∫ csc 2 ⁡ θ - csc ⁡ θ cot ⁡ θ csc ⁡ θ - cot ⁡ θ   d θ

Que é exatamente:

d csc ⁡ θ - cot ⁡ θ d θ = csc 2 ⁡ θ - csc ⁡ θ cot ⁡ θ  

Podemos substituir pela variável w = csc ⁡ θ - cot ⁡ θ → d w = csc 2 ⁡ θ - csc ⁡ θ cot ⁡ θ   d θ

Assim:

∫ csc 2 ⁡ θ - csc ⁡ θ cot ⁡ θ csc ⁡ θ - cot ⁡ θ   d θ = ∫ 1 w   d w = ln ⁡ | w | + k = ln ⁡ csc ⁡ θ - cot ⁡ θ + k

Substituindo, teremos:

∫ csc ⁡ θ d θ = ln ⁡ csc ⁡ θ - cot ⁡ θ + k

Passo 3

Agora precisamos voltar pra variável x , lembrando:

    x 1 + x 2 = sin ⁡ θ   e   x 1 = tan ⁡ θ

E que:

csc ⁡ θ = 1 sin ⁡ θ   e cot ⁡ θ = 1 tan ⁡ θ

Assim:

∫ csc ⁡ θ d θ = ln ⁡ csc ⁡ θ - cot ⁡ θ + k

∫ 1 x 1 + x 2 d x = ln ⁡ 1 + x 2 x - 1 x + k

∫ 1 x 1 + x 2 d x = ln ⁡ 1 + x 2 - 1 x + k

Resposta

∫ 1 x 1 + x 2 d x = ln ⁡ 1 + x 2 - 1 x + k

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