Calcule

∫ 1 3 1 + 1 x d x

Passo 1

Podemos reescrever como sendo:

∫ 1 3 1 + 1 x d x = ∫ 1 3 d x + ∫ 1 3 1 x d x = ∫ 1 3 d x + ∫ 1 3 x - 1 d x

Passo 2

Agora vamos aplicar a integração de polinômio

Pra esse caso temos a seguinte propriedade:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1

Para ∫ d x = ∫ x 0 d x , n = 0

∫ x 0 d x = x n + 1 n + 1 = x 0 + 1 0 + 1 = x 1 1 = x

Também temos a integração para o caso particular:

∫ 1 x d x = ln ⁡ x

Assim:

∫ 1 3 1 + 1 x d x = x + ln ⁡ x

Passo 3

Agora Vamos substituir os valores pelos limites de integração usando o teorema fundamental do cálculo:

Seja F x uma primitiva de f x , então:

∫ a b f x d x = F b - F a

Assim: x + ln ⁡ x 3 1 =

= 3 + ln ⁡ 3 - 1 + ln ⁡ 1 =

Lembrando que ln ⁡ 1 = 0

= 3 - 1 + ln ⁡ 3 = 2 + ln ⁡ 3

Resposta

∫ 1 3 1 + 1 x d x = 2 + ln ⁡ 3

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