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Calcule a área limitada pela curva

x = t 2 - 2 t

y = t

E pelo eixo y .

Passo 1

A área de uma curva é dada por

A = ∫ a b y d x

Então temos que identificar cada termo dessa integral aí, substituir e calcular.

Passo 2

Para encontrar o intervalo de integração, vamos pensar o seguinte:

Queremos a área entre a curva e o eixo y . Só que o eixo y é justamente onde o x = 0 , assim:

0 = t 2 - 2 t

Podemos dar uma manipulada:

t t - 2 = 0

E encontramos duas soluções:

t = 0

Ou

t - 2 = 0

t = 2

Esses são nossos limites de integração!!

a = 0

b = 2

Sobre os outros termos da integral, o y é a própria parametrização:

y = t

Para achar d x é só pegar a parametrização do x e derivar em relação a t :

x = t 2 - 2 t

Derivando:

d x = ( 2 t - 2 ) d t

Passo 3

Aí aqui a gente substitui tudo na integral e calcula, vamos relembrar a fórmula geral:

A = ∫ a b y d x

Agora substituindo:

A = ∫ 0 2 t ( 2 t - 2 )   d t

Vamos dar uma organizadinha, abrir esse parênteses pra ficar melhor:

A = 2 ∫ 0 2 t 3 2 - t 1 2   d t

Agora calculando:

A = 2 2 t 5 2 5 - 2 t 3 2 3 0 2

Aplicando os limites de integração:

A = 4 2 5 2 5 - 2 3 2 3

Resolvendo:

A = 4 32 5 - 8 3

Arrumando as raizes:

A = 4 4 2 5 - 2 2 3

Agora ficamos com:

A = 4 2 2 15 = 8 2 15

A = 0,75

Aweeee!

Resposta

A = 0,75  

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