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Calcule o comprimento da curva:

x = e t + e - t ,     y = 5 - 2 t   ,   0 ≤ t ≤ 3

Passo 1

Para encontrar o comprimento de uma curva a fórmula nos diz que:

L = ∫ a b 1 + d y d x 2   d x  

Substituindo pelas equações paramétricas teremos que:

L = ∫ a b 1 + d y d t d x d t 2 d x d t d t  

Passando d x d t   ao quadrado dentro da raiz e tirando o MMC ficamos com:

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2   d t  

Passo 2

Agora que já temos a fórmula podemos substituir os valores dados, diferenciando x   e   y ,   certo?

x = e t + e - t    

d x = e t - e - t     d t

d x d t 2 = e 2 t - 2 e t - t + e - 2 t

d x d t 2 = e 2 t - 2 + e - 2 t

y = 5 - 2 t

d y = - 2   d t

d y d t 2 = 4

Passo 3

Só substituir, sem esquecer dos limites de integração né:

L = ∫ 0 3 e 2 t - 2 + e - 2 t + 4   d t  

L = ∫ 0 3 e 2 t + e - 2 t + 2   d t  

Observe que podemos fatorar tudo e conseguir eliminar essa raiz chata:

L = ∫ 0 3 e t + e - t 2   d t  

L = ∫ 0 3 e t + e - t d t  

Agora é só integrar tudo e tomar os limites:

L = e t - e - t 3 0

L = e 3 - e - 3 - 1 + 1 = e 3 - e - 3

Resposta

L = e 3 - e - 3

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