Enunciado

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Calcule a integral

∫ x + a r c s e n   x 1 - x 2 d x

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos utilizar as técnicas de integração estudadas e as estratégias abordadas nesse capítulo para resolver a integral. Dessa forma, queremos encontrar o resultado para a integral da maneira mais prática de acordo com as técnicas de integração deste capítulo.

Passo 2

Utilizando a seguinte substituição trigonométrica, temos

x = s e n   θ ; θ = a r c s e n   θ ; d θ = 1 1 - x 2

∫ x + a r c s e n   x 1 - x 2 d x =   ∫ ( s e n   θ + θ ) d θ

Passo 3

Resolvendo a integral, temos

∫ ( s e n   θ + θ ) d θ = - cos ⁡ θ + θ 2 2 + C

Utilizando o seguinte triângulo, podemos voltar para x

- cos ⁡ θ + θ 2 2 + C = - 1 - x 2 + s e n - 1 x 2 2 + C

Resposta

∫ x + a r c s e n   x 1 - x 2 d x = - 1 - x 2 + s e n - 1 x 2 2 + C

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