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Calcule a integral.

∫ 2 x - 1 2 x + 3 d x

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: vamos tentar fazer uma Substituição, podemos tentar fazer com que u seja a expressão do numerador, vamos lá:

Vamos fazer a mudança de variável:

u = 2 x - 1 → u 2 = 2 x - 1 → x = u 2 + 1 2

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

2 u d u =   2   d x → d x = u d u

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ 2 x - 1 2 x + 3 d x = ∫ u . u 2 u 2 + 1 2 + 3 d u = ∫ u 2 u 2 + 4 d u = ∫ 1 - 4 u 2 + 4 d u = ∫ 1 d u + ∫ - 4 u 2 + 4 d u

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

Vamos calcular as duas integrais separadamente:

A primeira é fácil achar a primitiva da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ k d x = k x + C

Então ficamos com:

∫ 1 d u = u + C

A segunda é parecida com uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ d x x 2 + a 2 = 1 a tg - 1 ⁡ x a

Vamos manipular um pouco para poder usar:

∫ - 4 u 2 + 4 d u = - 4 ∫ 1 u 2 + 2 2 d u = - 4 ∙ 1 2 tg - 1 ⁡ u 2 + C = - 2 tg - 1 ⁡ u 2 + C

Vamos agora juntar:

∫ 1 d u + ∫ - 4 u 2 + 4 d u = u - 2 tg - 1 ⁡ u 2 + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso u = 2 x - 1 :

∫ 2 x - 1 2 x + 3 d x = u - 2 tg - 1 ⁡ u 2 + C = 2 x - 1 - 2 tg - 1 ⁡ 2 x - 1 2 + C

Resposta

∫ 2 x - 1 2 x + 3 d x = 2 x - 1 - 2 tg - 1 ⁡ 2 x - 1 2 + C

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