Enunciado

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Calcule a integral.

∫ x 5 e - x 3 d x

Passo 1

Primeiro vamos analisar qual regra usar para calcular essa integral, então mãos a massa: vamos tentar fazer uma Substituição, temos uma exponencial elevada a x 3 , vamos fazer u ser igual a x 3 , vamos lá:

Vamos fazer a mudança de variável:

u = x 3

Vamos agora achar a diferencial de u , derivando:

d u =   3 x 2 d x → x 2 d x = d u 3

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ x 5 e - x 3 d x = ∫ u e - u 3 d u = 1 3 ∫ u e - u d u

Pronto, agora tá com uma cara melhor, vamos ver o que dá pra fazer.

Passo 2

Vamos usar Integração por Partes agora:

∫ f x g ' x d x = f x g x - ∫ g x f ' x   d x

Vamos fazer então f u = u e g ' u = e - u d u :

f ' u = d u e g u = - e - u

Vamos substituir agora:

∫ u e - u d u = - u e - u - ∫ - e - u   d u = - u e - u + ∫ e - u   d u

Pronto, agora temos uma integral simples de resolver, vamos lá.

Passo 3

Agora é fácil achar a primitiva da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ e x d x = e x + C

Então ficamos com:

∫ e - u   d u = - e - u + C

Juntando:

∫ u e - u d u = - u e - u + ∫ e - u   d u = - u e - u - e - u + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ u e - u d u = - u e - u - e - u + C = - x 3 e - x 3 - e - x 3 + C

Agora vamos voltar a expressão original:

∫ x 5 e - x 3 d x = 1 3 ∫ u e - u d u = 1 3 - x 3 e - x 3 - e - x 3 + C

Resposta

∫ x 5 e - x 3 d x = 1 3 - x 3 e - x 3 - e - x 3 + C

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Calcule a integral: ∫ s 2 s d s
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