Enunciado

Encontre a derivada. Simplifique quando possível.

y = senh - 1 ⁡ tan ⁡ x

Passo 1

Fala aí, tudo certinho com você?

Bom, nessa questão precisamos derivar a função

y = senh - 1 ⁡ tan ⁡ x

E para fazer isso precisamos olhar para o tipo de função que temos, assim saberemos qual a melhor regra de derivação para esse caso.

E repare que nossa função é formada por uma função tan ⁡ x dentro de outra função senh - 1 ⁡ . Sendo assim, dizemos que temos uma função composta, e para fazer sua derivação podemos usar a regra da cadeia.

Bora relembrar:

y = senh - 1 ⁡ tan ⁡ x

Chamando:

u = tan ⁡ x    

f u = senh - 1 ⁡ u

Sua derivada será dada por:

d f x d x = d f x d u ⋅ d u d x

Ou seja, fazemos a derivada da função de fora, multiplicada pela derivada da função de dentro.

Vamos ver isso acontecendo no passo a passo.

Passo 2

Nossa função é

y = senh - 1 ⁡ tan ⁡ x

E estamos fazendo

u = tan ⁡ x    

f u = senh - 1 ⁡ u

E precisamos das suas derivadas, assim

Derivando u , temos

u = tan ⁡ x

Aqui temos uma derivada daquelas trigonométricas tabeladas. Assim:

d u d x = sec 2 ⁡ x

Agora já temos tudo que precisamos para usar a regra da cadeia.

Já para a função

f u = senh - 1 ⁡ u

A derivada da inversa do seno hiperbólico também temos a sua forma tabelada. Sendo:

d f d u = 1 1 + u 2

Perfeito.

Passo 3

Lembrando que estamos fazendo

d f x d x = d f x d u ⋅ d u d x

Substituindo tudo que já encontramos, ficamos com

d f x d x = 1 1 + u 2 ⋅ sec 2 ⁡ x

E sendo u = tan ⁡ x

Que pode ser escrita como:

d f x d x = 1 1 + tan 2 ⁡ x ⋅ sec 2 ⁡ x

Pela identidade trigonométrica: t g 2 x + 1 = sec 2 ⁡ x ...

d f x d x = 1 sec 2 ⁡ x ( sec 2 ⁡ x )

Extraindo a raiz quadrada,

d f x d x = 1 sec ⁡ x   sec 2 ⁡ x  

E simplificando, ficamos com:

d f x d x = sec ⁡ x

Prontinho😉

Resposta

d f x d x = sec ⁡ x

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