Enunciado

Calcule a integral fazendo a substituição dada.

int cos^3 theta sen theta d theta , u = cos theta

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! Temos que calcular a seguinte integral:

int cos^3 theta sen theta d theta

Pra isso a gente precisa usar a regra da substituição e o enunciado já nos dá qual substituição temos que fazer!

u = cos theta

Agora a gente precisa encontrar quem é d u , pra isso derivamos u em relação a theta :

(d u)/(d theta) = - sin theta

d theta = (1)/(- sin theta) d u

Substituimos na nossa integral:

int u^3 sen theta ((1)/(- sin theta) d u)

- int u^3 d u

Passo 2

Agora ficou molezinha, só precisamos usar a regra da potência:

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

Assim temos:

- int u^3 d u = - (u^4)/(4) + C

Como não temos o limite de integração, não podemos esquecer de somar a constante.

Agora voltando a integral da substituição para theta , lembrando que u = cos theta :

int cos^3 theta sen theta d theta = - (1)/(4) cos^4 theta + C

Prontinho!

Resposta

int cos^3 theta sen theta d theta = - (1)/(4) cos^4 theta + C

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