Enunciado

Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.

30-

∫ - a a ∫ 0 a 2 - y 2 x 2 + y 2 3 2   d x   d y

Passo 1

Pela definição de coordenadas polares temos:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

x 2 + y 2 = r 2

d x d y = r   d r d θ

E pela integral em coordenadas cartesianas temos:

0 ≤ x ≤ a 2 - y 2

Transformando esse intervalo para coordenadas polares nós teremos:

0 ≤ r c o s   θ ≤ a 2 - r 2 sin 2 ⁡ θ

Dessa forma o maior valor de r será, já que a menor será 0:

r c o s   θ = a 2 - r 2 sin 2 ⁡ θ

r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ = a 2

r 2 ( cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ ) = a 2

r = a

E o intervalo em y será:

- a ≤ y ≤ a

Em coordenadas polares será igual a:

- a ≤ r sin ⁡ θ ≤ a

Como r = a temos:

- 1 ≤ sin ⁡ θ ≤ 1

Logo θ varia de:

- π 2 ≤ θ ≤ π 2

O que faz com que a integral seja:

∫ - π 2 π 2 ∫ 0 a r r 2 3 2 d r   d θ

Passo 2

Resolvendo a integral:

∫ - π 2 π 2 ∫ 0 a r 4 d r   d θ

θ - π 2 π 2 × r 5 5 0 a = a 5 π 5

Resposta

∫ - π 2 π 2 ∫ 0 a r 4 d r   d θ = π a 5 5

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Uma região R é mostrada na figura. Decida se você deve usar coordenadas polares ou retangulares e escreva ∬ R f x , yd A como uma integral iterada, onde f é uma função qualquer contínua em R .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∫ ∫ R x + yd A , onde R é a região que está a esquerda do eixo y e entre as circunferências x 2 + y 2 = 1 e x 2 + y 2 = 4 .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∬ R a r c t gy xd A , onde R = x , y1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 ,0 ≤ y ≤ x } .
Utilize a integral dupla para determinar a área da região.Um laço de rosácea r = cos ⁡ 3 θ .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∬ De - x 2 - y 2d A , onde D é a região delimitada pelo semicírculo x = 4 - y 2 e o eixo y .