Enunciado

Um aspersor distribuí água em um círculo de raio de 100 pés. Ele fornece água até uma profundidade e - r pés por hora em uma distância de r pés do aspersor.

  1. Qual a quantidade total de água fornecida por hora para a região dentro de um círculo de raio R centrado no aspersor?
  2. Determine uma expressão para a quantidade média de água por hora e por pés quadrados fornecida para uma região circular de raio R .

Passo 1

Nesse exercício usaremos as coordenadas polares para encontrar o volume preenchido pelo aspersor por hora, utilizando integral dupla.

Passo 2

Temos que a quantidade de água fornecida por hora será dada pela integral dupla da quantidade de água que o aspersor consegue fornecer para um raio r . Sabemos que o aspersor gira um total de θ = 2 ⋅ π e que, como a circunferência está centrada no aspersor, seu raio irá variar de 0 até r = R . Assim, temos que nossa integral será

V = ∫ 0 2 ⋅ π ∫ 0 R e - r ⋅ r ⋅ d r ⋅ d θ = ∫ 0 2 ⋅ π d θ ⋅ ∫ 0 R e - r ⋅ r ⋅ d r

Fazendo integral por partes, chamando f ' = e - r e g = r , temos que

∫ 0 R e - r ⋅ r ⋅ d r = - e - r ⋅ r 0 R - ∫ 0 R - e - r ⋅ d r = - e - r ⋅ r 0 R - e - r 0 R =

= - R ⋅ e - R - e - R + 1

Substituindo na primeira expressão, temos que

V = ∫ 0 2 ⋅ π d θ ⋅ ∫ 0 R e - r ⋅ r ⋅ d r = θ 0 2 ⋅ π ⋅ - R ⋅ e - R - e - R + 1 = 2 ⋅ π ⋅ 1 - R ⋅ e - R - e - R

Passo 3

Observando as unidades de medida que é requisitado pelo problema, temos que a quantidade média de água por hora e por pés quadrados fornecida é dada pela divisão do volume obtido pela área da circunferência centrada no aspersor. Assim, temos que

V A = V π ⋅ R 2 = 2 ⋅ 1 - R ⋅ e - R - e - R R 2

Resposta

  1. V = 2 ⋅ π ⋅ 1 - R ⋅ e - R - e - R f t 3
  2. V A = 2 ⋅ 1 - R ⋅ e - R - e - R R 2 f t 3 p o r   h o r a   p o r   p é s   q u a d r a d o
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Encontre o valor médio da função f x , y = 1 / x 2 + y 2 na região anular a 2 ≤ x 2 + y 2 ≤ b 2 onde 0ab .
Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares. ∬ R sen ⁡ x 2 + y 2 d A Onde R é a região do primeiro quadrante entre os círculos com centro a origem e raios 1 e 3.
∬ D x 2 yd A , onde D é a metade superior do disco com centro na origem e raio 5.
∫ π 3 π / 4 ∫ 1 2 rd rd θ
Seja D o disco com centro na origem e raio a. Qual é a distância média dos pontos em D em relação à origem?