Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 15.4 - Ex. 34
Um aspersor distribuí água em um círculo de raio de 100 pés. Ele fornece água até uma profundidade pés por hora em uma distância de pés do aspersor.
- Qual a quantidade total de água fornecida por hora para a região dentro de um círculo de raio centrado no aspersor?
- Determine uma expressão para a quantidade média de água por hora e por pés quadrados fornecida para uma região circular de raio .
Passo 1
Nesse exercício usaremos as coordenadas polares para encontrar o volume preenchido pelo aspersor por hora, utilizando integral dupla.
Passo 2
Temos que a quantidade de água fornecida por hora será dada pela integral dupla da quantidade de água que o aspersor consegue fornecer para um raio . Sabemos que o aspersor gira um total de e que, como a circunferência está centrada no aspersor, seu raio irá variar de até . Assim, temos que nossa integral será
Fazendo integral por partes, chamando e , temos que
Substituindo na primeira expressão, temos que
Passo 3
Observando as unidades de medida que é requisitado pelo problema, temos que a quantidade média de água por hora e por pés quadrados fornecida é dada pela divisão do volume obtido pela área da circunferência centrada no aspersor. Assim, temos que