Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A - Capítulo 7.4 - Ex. 35

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Calcule a integral indefinida.

∫ x cotg 2 ⁡ x 2 - 1 cosec 2 ⁡ x 2 - 1 d x

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = x 2 - 1

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 2 x d x → d u 2 = x d x

Agora vamos fazer a substituição:

∫ x cotg 2 ⁡ x 2 - 1 cosec 2 ⁡ x 2 - 1 d x = ∫ cotg 2 ⁡ u cosec 2 ⁡ u 2 d u =

= 1 2 ∫ cotg 2 ⁡ u cosec 2 ⁡ u d u

Passo 2

Aqui vamos fazer uma substituição:

v = cotg ⁡ u

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = - cosec 2 ⁡ u d u → - d v = cosec 2 ⁡ u d u

Vamos substituir agora:

1 2 ∫ cotg 2 ⁡ u cosec 2 ⁡ u d u = 1 2 ∫ - v 2 d v = - 1 2 ∫ v 2 d v

Pronto, agora temos uma integral simples de resolver, vamos lá.

Passo 3

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando a expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Agora é só aplicar:

- 1 2 ∫ v 2 d v = - 1 2 ⋅ v 2 + 1 2 + 1 + C = - 1 2 ⋅ v 3 3 + C = - v 3 6 + C

Passo 4

Pronto, vamos agora juntar com a expressão toda:

∫ x cotg 2 ⁡ x 2 - 1 cosec 2 ⁡ x 2 - 1 d x = 1 2 ∫ cotg 2 ⁡ u cosec 2 ⁡ u d u =

= - 1 2 ∫ v 2 d v = - v 3 6 + C

Passo 5

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ x cotg 2 ⁡ x 2 - 1 cosec 2 ⁡ x 2 - 1 d x = - v 3 6 + C = - cotg 3 ⁡ u 6 + C = - cotg 3 ⁡ x 2 - 1 6 + C

Resposta

∫ x cotg 2 ⁡ x 2 - 1 cosec 2 ⁡ x 2 - 1 d x = - cotg 3 ⁡ x 2 - 1 6 + C

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