Enunciado

Calcule a integral indefinida.

int (z^2)/(root(3)(1 + z^3)) d z

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um z^3 no denominador e uma função com z^2 no numerador, podemos então usar a mudança de variável:

u = 1 + z^3

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 0 + 3 z^2 d z = 3 z^2 d z -> z^2 d z = (d u)/(3)

Vamos agora fazer a substuição:

int (z^2)/(root(3)(1 + z^3)) d z = int (1)/(3 root(3)(u)) d u

Agora fica simples de resolver, vamos lá.

Passo 2

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

int c f (x) d x = c int f (x) d x

int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + C (n != - 1)

Agora é só aplicar:

int (1)/(3 root(3)(u)) d u = (1)/(3) int (1)/(u^((1)/(3))) d u = (1)/(3) int u^(- (1)/(3)) d u = (1)/(3) * ((u^(- (1)/(3) + 1))/(- (1)/(3) + 1)) = (1)/(3) * (u^((2)/(3)))/((2)/(3)) = (u^((2)/(3)))/(2) + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo, no caso aqui foi u = 3 1 + z^3 :

int (z^2)/(root(3)(1 + z^3)) d z = int (1)/(3 root(3)(u)) d u = (u^((2)/(3)))/(2) + C = ((1 + z^3)^((2)/(3)))/(2) + C

Resposta

int (z^2)/(root(3)(1 + z^3)) d z = ((1 + z^3)^((2)/(3)))/(2) + C

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