Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A - Capítulo 7.4 - Ex. 32

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Calcule a integral indefinida.

∫ x x 2 - 1 tg 3 ⁡ x 2 - 1 d x

Passo 1

Bem, aqui vamos usar a Regra da Substituição, então mãos a massa, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral:

u = x 2 - 1 = x 2 - 1 1 2

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 2 x 2 - 1 1 2 - 1 2 x - 0   d x = x x 2 - 1 d x

Agora vamos fazer a substituição:

∫ x x 2 - 1 tg 3 ⁡ x 2 - 1 d x = ∫ tg 3 ⁡ u d u

Passo 2

Pronto, vamos fazer algumas manipulações, usando a identidade:

sec 2 ⁡ x = 1 + tg 2 ⁡ x → tg 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x - 1

Vamos substituir:

∫ tg 3 ⁡ u d u = ∫ tg 2 ⁡ u tg ⁡ u d u = ∫ sec 2 ⁡ u - 1 tg ⁡ u d u = ∫ sec 2 ⁡ u tg ⁡ u - tg ⁡ u d u =

= ∫ sec 2 ⁡ u tg ⁡ u d u + ∫ - tg ⁡ u d u

Passo 3

Com essa primeira integral vamos ter que fazer outra mudança de variável:

v = sec ⁡ u

Vamos agora achar diferencial de v , derivando:

d v = sec ⁡ u tg ⁡ u d u

Agora substituindo:

∫ sec 2 ⁡ u tg ⁡ u d u = ∫ v d v

Passo 4

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando as expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ tg ⁡ x d x = ln ⁡ sec ⁡ x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Agora é só aplicar:

∫ sec 2 ⁡ u tg ⁡ u d u + ∫ - tg ⁡ u d u = ∫ v d v - ∫ tg ⁡ u d u = v 1 + 1 1 + 1 - ln ⁡ sec ⁡ u + C =

= v 2 2 - ln ⁡ sec ⁡ u + C

Passo 5

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ x x 2 - 1 tg 3 ⁡ x 2 - 1 d x = v 2 2 - ln ⁡ sec ⁡ u + C = sec 2 ⁡ u 2 - ln ⁡ sec ⁡ x 2 - 1 + C =

= sec 2 ⁡ x 2 - 1 2 - ln ⁡ sec ⁡ x 2 - 1 + C

Resposta

∫ x x 2 - 1 tg 3 ⁡ x 2 - 1 d x = sec 2 ⁡ x 2 - 1 2 - ln ⁡ sec ⁡ x 2 - 1 + C

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