Enunciado

Calcule a integral indefinida. Ilustre e verifique que sua resposta é razoável fazendo o gráfico da função e de sua primitiva (tome C=0).

∫ s e n x   c o s 4 x   d x

Passo 1

Vamos aplicar o método da substituição para solucionarmos o problema,

u = c o s x

d u = - s e n x   d x

A integral fica:

∫ u 4 ( - d u )

Logo,

∫ u 4 ( - d u ) = - u 5 5 + C

= - cos 5 ⁡ x 5 + C

Tomando C como 0 e fazendo o gráfico dessa integral, temos que

A curva acima é a da integral f(x), também representada pela cor acinzentada, e abaixo é a de F(x), de cor preta. Podemos perceber que onde f intercepta o eixo x é equivalente a π , então f muda de positivo para negativo e F tem um máximo local. Além disso, f e F são periódicos no período 2 π , portanto, em x = 0 e x = 2 π , f muda de negativo para positivo e F tem um mínimo local.

Resposta

∫ s e n x   c o s 4 x   d x = - cos 5 ⁡ x 5 + C

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