Enunciado

Calcule a integral iterada, convertendo-a antes para coordenadas polares.

∫ - 3 3 ∫ 0 9 - x 2 s e n x 2 + y 2   d y   d x

Passo 1

Galera, repare que - 3 ≤ x ≤ 3 e y ≥ 0 , então teremos 0 ≤ r ≤ 3 e 0 ≤ θ ≤ π . Ou seja, convertendo para coordenadas polares, nossa integral será:

∫ 0 π ∫ 0 3 s e n r 2   r   d r   d θ

Passo 2

Show! Pra calcular a integral dupla, vamos separá-la em um produto de duas integrais simples:

∫ 0 π ∫ 0 3 s e n r 2   r   d r   d θ = ∫ 0 π d θ ∫ 0 3 r   s e n r 2   d r

Vamos integrar separadamente cada uma:

∫ 0 π d θ = θ 0 π

E:

∫ 0 3 r   s e n r 2   d r

Nesta integral, vamos realizar substituição:

r 2 = u   d u ,   l o g o  

∫ 0 3   ( s e n u / 2 )   = - cos ⁡ u 2 0 3

Substituindo novamente,

∫ 0 3   ( s e n u / 2 )   = - cos ⁡ r ² 2 0 3

Agora, vamos retornar na equação inicial, tendo:

∫ 0 π ∫ 0 3 s e n r 2   r   d r   d θ = θ 0 π - cos ⁡ r 2 2 0 3

= π   . 1 2 ( - cos ⁡ 9 + cos ⁡ 0 ) = π 2 1 - cos ⁡ 9

Resposta

π 2 1 - cos ⁡ 9

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