Enunciado

Calcule a integral:

35) int_1^2 (v ³ + 3 v^6)/(v^4) . d v

Passo 1

Fala aí, vamos calcular essa integral aqui:

int_1^2 (v ³ + 3 v^6)/(v^4) d v

Primeiro passo, nós vamos separar os termos:

int_1^2 (v ³ + 3 v^6)/(v^4) d v = int_1^2 (v ³)/(v^4) d v + int_1^2 (3 v^6)/(v^4) d v

= int_1^2 (1)/(v) d v + int_1^2 3 v^2 d v

Pra resolver essas integrais vamos lembrar que:

int x^n = (x^(n + 1))/(n + 1) + C

int (1)/(x) = ln | x | + C

Além disso

Passo 2

Resolvendo a primeira integral:

int_1^2 (1)/(v) d v = (ln |v||_1^2

(ln |v||_1^2 = ln 2 - ln 1

int_1^2 (1)/(v) d v = ln 2

Agora vamos pra segunda:

int_1^2 3 v^2 d v = (3 (x^(2 + 1))/(2 + 1)|_1^2 = (x^3|_1^2

(x^3|_1^2 = 2^3 - 1^3 = 7

Agora é só juntar tudo e temos:

int_1^2 (v^3 + 3 v^6)/(v^4) d v = ln 2 + 7

Prontinho!

Resposta

int_1^2 (v^3 + 3 v^6)/(v^4) d v = ln 2 + 7

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