Enunciado

A água escoa pelo fundo de um tanque de armazenamento a uma taxa de r t = 200 - 4 t litros por minuto, onde 0 ≤ t ≤ 50 . Encontre a quantidade de água que escoa do tanque durante os primeiros dez minutos.

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos diz que a água escoa pelo fundo de um tanque de armazenamento a uma taxa (em litros/minuto) dada pela seguinte função:

r t = 200 - 4 t

Onde 0 ≤ t ≤ 50 .

Queremos encontrar a quantidade de água que escoa do tanque durante os primeiros dez minutos.

Para encontrar a quantidade de água que escoa do tanque durante os primeiros dez minutos é só integrar a função de r t com os limites de intregação de 0 a 10 , ou seja:

∫ 0 10 r t d t

Passo 2

Resolvendo a integral, temos:

∫ 0 10 200 - 4 t   d t

= ∫ 0 10 200   d t + ∫ 0 10 - 4 t   d t

Passo 3

Vamos agora calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

∫ 200   d t + ∫ - 4 t   d t

Agora é fácil achar as primitivas de cada função, usando três expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ k d x = k x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

Agora é só aplicar, vamos resolver elas separadamente, assim fica mais simples de ver:

∫ 200   d t = 200 t + C

∫ - 4 t   d t = - 4 ∫ t   d t = - 4 t 1 + 1 1 + 1 = - 2 t 2 + C

Passo 4

Pronto, já encontramos a integral indefinida, perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Ficamos então com:

∫ 0 10 200 - 4 t   d t

= ∫ 0 10 200   d t + ∫ 0 10 - 4 t   d t

= 200 t 0 10 + - 2 t 2 0 10

= 200.10 - 200.0 + - 2.10 2 - - 2.0 2

= 2000 - 200

= 1800

Resposta

A quantidade de água que escoa do tanque durante os primeiros dez minutos é de 1800 litros.

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