3. Calcule e verifique sua resposta por derivação

g )   ∫ 1 2 - 1 2 cos ⁡ 2 x   d x

Passo 1

Oi, pessoal! Nós temos uma subtração na nossa integral. Então para facilitar as contas, podemos separar essa integral em duas. Assim,

∫ 1 2 - 1 2 cos ⁡ 2 x   d x = ∫ 1 2 d x -   ∫ 1 2 cos ⁡ 2 x   d x

A primeira integral sai direto,

∫ 1 2 d x = 1 2 x + c 1

Na segunda vamos ter que fazer uma substituição simples. Bora lá!

Passo 2

Para resolver a integral

∫ 1 2 cos ⁡ 2 x   d x

Nós vamos chamar o que está dentro do cosseno de u . Fica assim,

u = 2 x

d u = d x 2

Fazendo a substituição, ficamos com

∫ cos ⁡ u d u = sin ⁡ u

Voltando para variável x ,

∫ 1 2 cos ⁡ 2 x   d x = sin ⁡ 2 x + c 2

Pronto, já resolvemos os termos, então meu resultado final é

∫ 1 2 - 1 2 cos ⁡ 2 x   d x = x 2 - sin ⁡ 2 x + C

Onde, C é a nossa constante de integração.

Passo 3

Vamos derivar o resultado que obtivemos para conferir se a integral está correta. Para isso, precisamos lembrar que a derivada de um polinômio é dada por ( x α ) ' =   α x α - 1 e que ( sin ⁡ u ) ' = u ' cos ⁡ u   . Então,

1 2 x - 1 4 sin ⁡ 2 x + k   ' =   1 2 x ' - 1 4 sin ⁡ 2 x   ' + ( k ) ' = 1 2 - 2 1 4 cos ⁡ 2 x + 0 = 1 2 - 1 2 cos ⁡ 2 x

Ou seja, a integração está correta

Resposta

Portanto, o resultado a integração é

∫ 1 2 - 1 2 cos ⁡ 2 x   d x =   1 2 x - 1 4 sin ⁡ 2 x + k    

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