Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.8 - Ex. 37
Um cilindro sólido possui densidade constante e raio de base e altura .
Passo 1
- Encontre o momento de inércia do cilindro com relação ao seu eixo.
- Encontre o momento de inércia do cilindro com relação ao seu diâmetro da base.
Para facilitar os cálculos, podemos posicionar o cilindro de tal forma que a sua base esteja no plano , então podemos usar coordenadas cilíndricas para descrever o sólido. Das equações de transformação para coordenadas cilíndricas, temos:
O momento de inércia com relação ao eixo então será dado por:
Aplicando as equações de transformação, e sabendo que a densidade é constante , podemos reescrever a integral anterior como:
Podemos separar as variáveis em cada uma das integrais:
E podemos resolver as integrais simultaneamente, sendo assim, temos:
Dessa forma, simplificando a expressão, temos:
Passo 2
Devido a simetria do cilindro, quaisquer dois momentos em relação ao diâmetro da base serão iguais, sendo assim, só precisamos calcular um deles, com isso, temos:
Aplicando as equações de transformação, e sabendo que a densidade é constante , podemos reescrever a integral anterior como:
Passo 2
Iremos separar a integral em duas para que depois possamos resolve-la simultaneamente, e não de maneira iterada, sendo assim, temos:
Podemos separar as variáveis em cada uma das integrais:
E podemos resolver as integrais simultaneamente, sendo assim, temos:
Dessa forma, simplificando a expressão, temos: