Enunciado

Use coordenadas esféricas.

Passo 1

Encontre o volume do sólido que fica acima do cone varphi = pi // 3 e embaixo da esfera rho = 4 cos varphi . E depois encontre o centróide desse sólido.

Das equações de transformação para coordenadas esféricas, temos:

x = rho s e n varphi cos theta , y = rho s e n varphi s e n theta , z = rho cos varphi , x^2 + y^2 + z^2 = rho^2

Analisando a região dada no enunciado, temos as seguintes restrições: 0 <= varphi <= pi // 3 , 0 <= rho <= 4 cos varphi e 0 <= theta <= 2 pi . Dessa forma, podemos escrever a integral representando o volume do sólido como:

V = int_0^(2 pi) int_0^(pi // 3) int_0^(4 cos varphi) rho^2 s e n varphi d rho d varphi d theta

Passo 2

Iremos resolver a integral de forma iterada, sendo assim, começando por rho , temos:

int_0^(2 pi) int_0^(pi // 3) [(1)/(3) rho^3]_(rho = 0)^(rho = 4 cos varphi) s e n varphi d varphi d theta = int_0^(2 pi) int_0^(pi // 3) (1)/(3) 64 cos^3 varphi s e n varphi d varphi d theta

Antes de resolver a integral, devemos notar que, para varphi , devemos aplicar uma integral por substituição. Sabemos que as integrais com formato:

int cos^x theta s e n theta

São resolvidas por substituição, fazendo u = c o s theta -> d u = - s e n theta e a integral se torna:

int - u^x d u = - (u^(x + 1))/(x + 1) = - (cos^x theta)/(x + 1)

Nesse caso, temos x = 3 , então, resolvendo a integral em varphi , temos:

int_0^(pi // 3) s e n varphi cos^3 varphi d varphi = [(1)/(4) cos^4 varphi]_0^(pi // 3)

Agora resolvendo para varphi , temos:

int_0^(2 pi) [- (16)/(3) cos^4 varphi]_(varphi = 0)^(varphi = pi // 3) d theta = int_0^(2 pi) [- (16)/(3) ((1)/(2))^4 - (- (16)/(3)) (1)] d theta

int_0^(2 pi) [(16)/(3) (1 - (1)/(16))] d theta = int_0^(2 pi) [(16)/(3) ((15)/(16))] d theta = int_0^(2 pi) 5 d theta

E, finalmente, podemos resolver para theta :

[5 theta]_(theta = 0)^(theta = 2 pi) = [ 5 (2 pi) - 5 (0) ]

Sendo assim, temos:

V = 10 pi

Passo 3

Agora, para encontrar o centróide do sólido, precisamos encontrar os momentos de massa do mesmo e dividir pelo seu volume, para nossa sorte, como o sólido em estudo é uma esfera deslocada no eixo z , por simetria do problema, temos que:

M_y z = M_x z = 0

E precisamos calcular somente o momento de massa com relação ao eixo z , para isso temos:

M_x y = int_0^(2 pi) int_0^(pi // 3) int_0^(4 cos varphi) (rho cos varphi) rho^2 s e n varphi d rho d varphi d theta

M_x y = int_0^(2 pi) int_0^(pi // 3) int_0^(4 cos varphi) rho^3 cos varphi s e n varphi d rho d varphi d theta

Resolveremos a integral também de forma iterada, começando por rho , temos:

int_0^(2 pi) int_0^(pi // 3) [(1)/(4) rho^4]_(rho = 0)^(rho = 4 cos varphi) cos varphi s e n varphi d varphi d theta = int_0^(2 pi) int_0^(pi // 3) (1)/(4) 256 cos^4 varphi cos varphi s e n varphi d varphi d theta

64 int_0^(2 pi) int_0^(pi // 3) cos^5 varphi s e n varphi d varphi d theta

Agora, integrando para varphi :

64 int_0^(2 pi) [- (1)/(6) cos^6 varphi]_(varphi = 0)^(varphi = pi // 3) d theta = 64 int_0^(2 pi) [- (1)/(6) ((1)/(2))^6 - (- (1)/(6)) (1)^6] d theta

64 int_0^(2 pi) (- 1 + 22)/(128) d theta = (21)/(2) int_0^(2 pi) d theta

E, finalmente, resolvendo para theta :

(21)/(2) [theta]_0^(2 pi) = (21)/(2) (2 pi - 0)

Logo, temos que:

M_x y = 21 pi

E, o centróide é dado por:

(overset(-)(x) , overset(-)(y) , overset(-)(z)) = ((M_y z)/(V) , (M_x z)/(V) , (M_x y)/(V)) = ( (0)/(10 pi) , (0)/(10 pi) , (21 pi)/(10 pi) )

(overset(-)(x) , overset(-)(y) , overset(-)(z)) = ( 0 ; 0 ; 2,1 )

Resposta

V = 10 pi

(overset(-)(x) , overset(-)(y) , overset(-)(z)) = ( 0 ; 0 ; 2,1 )

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