Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.8 - Ex. 29
Use coordenadas esféricas.
Passo 1
Encontre o volume do sólido que fica acima do cone e embaixo da esfera . E depois encontre o centróide desse sólido.
Das equações de transformação para coordenadas esféricas, temos:
Analisando a região dada no enunciado, temos as seguintes restrições: , e . Dessa forma, podemos escrever a integral representando o volume do sólido como:
Passo 2
Iremos resolver a integral de forma iterada, sendo assim, começando por , temos:
Antes de resolver a integral, devemos notar que, para , devemos aplicar uma integral por substituição. Sabemos que as integrais com formato:
São resolvidas por substituição, fazendo e a integral se torna:
Nesse caso, temos , então, resolvendo a integral em , temos:
Agora resolvendo para , temos:
E, finalmente, podemos resolver para :
Sendo assim, temos:
Passo 3
Agora, para encontrar o centróide do sólido, precisamos encontrar os momentos de massa do mesmo e dividir pelo seu volume, para nossa sorte, como o sólido em estudo é uma esfera deslocada no eixo , por simetria do problema, temos que:
E precisamos calcular somente o momento de massa com relação ao eixo , para isso temos:
Resolveremos a integral também de forma iterada, começando por , temos:
Agora, integrando para :
E, finalmente, resolvendo para :
Logo, temos que:
E, o centróide é dado por:
Resposta
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