Enunciado

Conecte as curvas polares com seus respectivos gráficos I-VI.

r = s e n   θ 2

Passo 1

A questão pede para ligarmos a curva dada em coordenadas polares a um dos gráficos disponíveis.

Neste caso, temos

r = s e n   θ 2

Note que r vai completar um ciclo completo quando θ 2 rodar de 0 a 2 π :

0 ≤ θ 2 ≤ 2 π

0 ≤ θ ≤ 4 π

O que iremos fazer para conseguirmos encontrar qual o gráfico dessa função é analisarmos os pontos importantes, como raízes, ponto de interseção aos eixos, periodicidade, são esses pontos que nos ajudam a encontrarmos os gráficos.

Passo 2

Para

θ = 0

Temos

r = 0

de modo que a curva começa na origem.

Daí, conforme θ vai de 0 até π , r vai de 0 até 1, sempre crescendo!

Em seguida, quando θ vai de π até 2 π , r continua positivo, porém vai diminuindo de 1 até chegar em 0 quando θ = 2 π : a curva volta para a origem!

Passo 3

Agora vamos para a segunda volta:

nela,

2 π < θ < 4 π

de modo que r < 0 .

Desta forma, sempre temos que rebater a curva para o quadrante oposto!

Para

2 π ≤ θ ≤ 3 π

r começa no 0 e acaba no - 1 , de modo que a curva parte no terceiro quadrante e depois passa pelo quarto terminando no ponto ( 1 ,   0 ) (coordenadas cartesianas).

Por fim, entre 3 π e 4 π , r vai de - 1 até 0 , executando uma trajetória simétrica acima do eixo x .

O gráfico que melhor descreve toda essa bagunça é o VI.

Resposta

VI

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Ligue as equações paramétricas aos gráfico de I-VI. x = cos ⁡ t , y = s e n( t + s e n5 t )
Ligue as equações paramétricas aos gráfico de I-VI. x = t 3 - 1 , y = 2 - t 2
Ligue as equações paramétricas aos gráfico de I-VI. x = s e n t + s e nt , y = c o s ⁡ ( t + cos ⁡ t )
Ligue as equações paramétricas aos gráfico de I-VI. x = t 3 - 2 t , y = t 2 - t
Mostre que a curva polar r = 4 + 2 sec ⁡ θ (chamada conchóide) tem a reta x = 2 como uma assíntota vertical mostrando que no limite lim r → ± ∞ ⁡ x = 2 . Use esse fato para ajudar a esboçar a conchóid