Enunciado

Se f ( x )   é continua em f x ≤ M para todo x em [a,b], provar que:

∫ b a f x d x ≤   M b - a

Ilustrar graficamente, supondo f x ≥ 0

Passo 1

Vamos relembrar mais uma regra de integração.

Se f   e   g são integráveis em [a,b] e f x ≥ g ( x ) para todo x pertencente a [a,b], então :

∫ a b f x ≥ ∫ a b g ( x )

Passo 2

Vamos supor que

g x =   M   e   f x = f ( x )

O enunciado nos deu que f x ≤ M   ∨ x   ϵ   [ a , b ]

Dessa forma podemos utilizar a propriedade vista acima de integral

∫ a b f x ≤   ∫ a b M = M x ​ a → b = M b - a

Ou seja

∫ a b f x ≤ M b - a

Como queríamos demonstrar.

Passo 3

Agora vamos ilustrar graficamente o que ocorre, repare que a área abaixo do gráfico é menor do que a área para a reta y = M, o que implica nossa desigualdade demonstrada acima

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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