Dada a funcao f(x, y) = x / y + e^(xy) com x(t) = 1/t e y(t) = raiz(t), encontrar (d \* h) / (d \* t) onde h(t) = f(x(t), y(t)) .

Passo 1

A regra da cadeia é usada para derivar uma função composta para funções de uma variável, se y   =   f x   e   x = h ( t ) tem se

d y d t = d f x d x . d x d t

Se ambas f   e   h   forem deriváveis. Para funções de duas variáveis, tem se como 1º caso , o seguinte:

Suponha z   =   f ( x , y ) diferncialvel em x e y e de modo que x = g t e y   = h t diferenciáveis em t. Então z é diferenciável em t de forma que

d z d t = ∂ z ∂ x . d x d t + ∂ z ∂ y . d y d t

Passo 2

Para a função da nossa questão temos:

d f x , y d t = ∂ f x , y ∂ x . d x ( t 0 ) d t + ∂ f x , y ∂ y . d y t 0 d t

∂ f x , y ∂ x = 1 y + y e x y

∂ f x , y ∂ y = - x y 2 + x e x y

d x ( t ) d t = - 1 t 2

d y t d t = 1 2 1 t  

Passo 3

Substituindo as equações encontradas na fórmula da regra da cadeia do 1º caso

d f x , y d t = 1 y + y e x y × - 1 t 2 + ( - x y 2 + x e x y ) × 1 2 1 t   =

Deixando tudo numa só variável (t)

= 1 t + t e 1 t t × - 1 t 2 + - 1 t 2 + 1 t e 1 t t × 1 2 1 t = - 3 2 t 5 2 - e t t 2 t 3 2  

Resposta

- 3 2 t 5 2 - e t t 2 t 3 2  

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