Enunciado

Resolva (6 x + 1) y^2 (d y)/(d x) + 3 x^2 + 2 y^3 = 0 .

Passo 1

Opa! Tudo joinha?

Vamos resolver essa equação aqui:

(6 x + 1) y^2 (d y)/(d x) + 3 x^2 + 2 y^3 = 0

Vamos dar uma arrumadinha nela pra entender que tipo de EDO é essa...

(6 x + 1) y^2 d y = - (3 x^2 + 2 y^3) d x

(3 x^2 + 2 y^3) d x + (6 x y^2 + y^2) d y = 0

Opa! Perceba que:

(del M)/(del y) = 6 y^2

(del N)/(del x) = 6 y^2

Então temos uma equação exata! Bora resolver!

Passo 2

Pra resolver uma equação exata, a gente primeiro vai integrar M ( x , y ) :

int (3 x^2 + 2 y^3) d x

= x^3 + 2 x y^3 + g (y) ( * )

E agora a gente deriva isso em relação a y :

= 6 x y^2 + g ' ( y )

Show! Comparando com N ( x , y ) ...

6 x y^2 + g^' (y) = 6 x y^2 + y^2

Temos que:

g^' (y) = y^2

Passo 3

E aí pra descobrir g ( y ) , a gente integra:

g (y) = int y^2 d y

g (y) = (y^3)/(3) + C

E agora a gente substitui isso na equação ( * ) :

x^3 + 2 x y^3 + g (y)

x^3 + 2 x y^3 + (y^3)/(3) = C

E pronto! Equação resolvida😉

Resposta

x^3 + 2 x y^3 + (y^3)/(3) = C

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