Enunciado

Descreva o movimento de uma partícula com posição ( x ,   y ) quando t varia no intervalo dado.

x = 2 sen ⁡ t ,   y = 4 + cos ⁡ t , 0 ≤ t ≤ 3 π 2

Passo 1

Olá, meu amigo. Vamos resolver essa atividade juntos.

Aqui a gente vai descrever o movimento da partícula:

x = 2 sen ⁡ t ,   y = 4 + cos ⁡ t , 0 ≤ t ≤ 3 π 2

Conforme o seu t varia. Para isso, vamos fazer uma tabela com diferentes valores para t e iremos a partir disso encontrar os respectivos valores de x e de y .

Depois disso iremos utilizar o GeoGebra para plotar esses pontos e entendermos o comportamento da figura.

Passo 2

Então temos a tabela:

Vamos montar o gráfico colocando os pontos e traçando o caminho:

Para conferir nosso resultado, vamos dar uma olhada na curva e coloca-la em coordenadas cartesianas, assim poderemos ver se encontramos uma equação conhecida e assim de fato termos a figura que esboçamos.

Organizando um pouquinho para isolarmos o parâmetro, ficamos com:

sen ⁡ t = x 2

cos ⁡ t = y - 4

Quando a gente vê um seno e um cosseno dá uma vontade de elevar ao quadrado e igualar a 1, né? Podemos fazer isso:

sen 2 ⁡ t + cos 2 ⁡ t = 1

Substituindo pelos valores que temos no enunciado ficamos com isso aqui:

x 2 2 + y - 4 2 = 1

Podemos perceber, por essa equação movimento da partícula ocorre em uma elipse centrada em ( 0,4 ) . Como tínhamos feito no nosso esboço. Temos então duas formas de encontrar o movimento de uma partícula.

Realizando os esboços do seu gráfico a partir de uma tabela, ou encontrando sua equação em coordenadas cartesianas.

Resposta

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Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva:Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta. x = ln ⁡ t y = t t ≥ 1
Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcas os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando t aumenta. x = t y = 1 - t
Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva:Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta. x = s en ⁡ t y = cossec ⁡ t 0tπ
Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcas os pontos. Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando t aumenta. x = t 2 y = t 3
Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva:Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta. x = 4 cos ⁡ θ y = 5 sen ⁡ θ - π