Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Capítulo 5.10 - Ex. 62

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desse livro

Determinar o ponto do plano 3 x + 2 y + 4 z = 12 para o qual a função:

  f   x ,   y ,   z =   x 2 + 4 y 2 + 5 z 2

tenha um valor mínimo.

Passo 1

Então galera, neste caso nós temos um problema de otimização restrita, ou seja, queremos encontrar o valor mínimo, mas sabendo que 3 x + 2 y + 4 z = 12 .

Então neste caso a condição será:

s . a .                   3 x + 2 y + 4 z = 12

Nós teremos o seguinte problema de otimização:

max / min ⁡                                     x 2 + 4 y 2 + 5 z 2

s . a .                                                   3 x + 2 y + 4 z = 12

Passo 2

Colocando na fórmula de Lagrange:

L = x 2 + 4 y 2 + 5 z 2 - λ ( 3 x + 2 y + 4 z - 12   )

Derivando L em relação às variáveis x, y e λ e igualando as derivadas a zero:

∂ L ∂ x = 2 x - 3 λ = 0

∂ L ∂ y = 8 y - 2 λ = 0

∂ L ∂ z = 10 z - 4 λ = 0

∂ L ∂ λ = - ( 3 x + 2 y + 4 z - 12 ) = 0

Igualando as duas primeiras equações nós achamos:

x = 6 y → y = x 6

Igualando a segunda e a terceira equações nós achamos:

y = 10 16 z → z = 16 60 x

Colocando na última equação:

3 x + 2 y + 4 z - 12 = 0

3 x + 2 x 6 + 4 × 16 60 x = 12

3 x + x 3 + 6 4 x 60 = 12

x = 30 11

Achando y e z:

y = 30 11 6 = 5 11  

z = 16 60 × 30 11 = 8 11

Então nós teremos um ponto:

30 11 ,   5 11 ,   8 11  

Achamos nosso ponto mínimo!

Resposta

30 11 ,   5 11 ,   8 11 → M í n i m o

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