Livros Resolvidos Passo a Passo
Solucionário completo

Exercícios Resolvidos de Cálculo Volume 2 7ª Edição - James Stewart

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 7ª Edição - James Stewart - 13.4 - 41

Determine as componentes tangencial e normal do vetor aceleração.

r t = e t i + 2 t j + e - t k

Passo 1

Show de bola, galera. Para calcularmos essas componentes, não tem mistério.

Precisamos calcular apenas dois vetores: r ' t e r ' ' t . Uma vez calculado isso, as contas sairão de maneira automática.

Para não restar mais dúvidas quanto a esses cálculos, vamos te dar um macete pra você saber qual fórmula usar para a aceleração tangencial e qual usar para a aceleração normal, beleza?

As fórmulas têm essa cara aqui:

a ? = r ' t   ?   r ' ' t r ' t

Deixamos aquelas interrogações de propósito mesmo! Só para nos confortarmos com a ideia de que as fórmulas têm aquela cara mesmo....Beleza? Agora atenção, lá vem o macete....

Vamos imaginar aquela “cruzinha” que simboliza o produto vetorial...Isso mesmo, é a × mesmo! Essa cruzinha não é formada por dois segmentos de reta que formam ângulos de 90 ° ?

Ou seja, esses segmentos de reta são normais entre si...Opa!!! Brotou a palavra normal, é isso mesmo?!?! Então, o macete é justamente esse!

Para a componente normal da aceleração, vamos usar a cruzinha do produto vetorial (e colocaremos um módulo no numerador):

a ? = r ' t   ?   r ' ' t r ' t →     ∴     a N = r ' t × r ' ' t r ' t

Já para a aceleração tangencial, usaremos o produto interno no lugar da interrogação:

a ? = r ' t   ?   r ' ' t r ' t →     ∴     a T = r ' t ⋅ r ' ' t r ' t

Shooow!!! Agora partiu fazer todas as contas!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos calcular primeiro o vetor r ' t :

r ' t = d d t r t = e t i + 2 j - e - t k

Calculemos agora r ' t :

r ' t = e t 2 + 2 2 + e - t 2 = e 2 t + 2 + e - 2 t = e t + e - t 2 = e t + e - t

Vamos calcular agora o vetor r ' ' t :

r ' ' t = d d t r ' t = e t i + e - t k

Vamos calcular os seguintes produtos agora:

r ' t ⋅ r ' ' t = e t e t + - e - t e - t = e 2 t - e - 2 t = e t + e - t e t - e - t

r ' t × r ' ' t = - e t e - t j - 2 e t k + 2 e - t i + - e - t e t j

r ' t × r ' ' t = 2 e - t i - 2 j - 2 e t k

Por último, só falta calcular:

r ' t × r ' ' t = 2 e - t 2 + - 2 2 + - 2 e t 2 = 2 e - 2 t + e 2 t + 2 ⏟ e t + e - t 2 = 2 e t + e - t

Passo 3

Agora só falta aplicarmos as fórmulas para as componentes da aceleração:

a N = r ' t × r ' ' t r ' t = 2 e t + e - t e t + e - t = 2

a T = r ' t ⋅ r ' ' t r ' t = e t + e - t e t - e - t e t + e - t = e t - e - t

Resposta

a N = 2   e   a T = e t - e - t

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas