Enunciado

Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.

f x , t = e - t cos ⁡ π x

Passo 1

Falaaa...

Pra encontrar as derivadas parciais de primeira ordem a gente fixa uma variável e deriva em relação a outra.

Mas bora lá botar a mão na massa.

Passo 2

Vamos primeiro fixar a variável t e derivar em relação a x , beleza?

Então, com isso, vamos ter que e - t vai ser constante.

E vamos precisar da regra da cadeira pra derivar o cosseno.

Primeiro derivamos o que está dentro do cosseno:

∂ ∂ x π x = π

E lembrando que a derivada de cosseno é menos seno:

cos ⁡ θ ' = - sen ⁡ θ

Agora é só multiplicar as duas derivadas e não esquecer da constante:

f x = - e - t π sen ⁡ π x

Passo 3

E agora fixando o x e derivando em relação a t .

Dessa vez o cos ⁡ π x   que vai ser constante, já que não tem t nele, né?

Então derivando o e - t :

Usando a regra da cadeia também. Repara que o que está dentro da função é - t (em cima, no caso hehe).

Derivando o que está dentro:

∂ ∂ t - t = - 1

E lembra que a derivada de e θ não muda nada?? É a própria e θ .

e θ ' = e θ

Então só multiplicarmos as duas derivadas e não esquecer da constante:

z t = - e - t cos ⁡ π x

Resposta

f x = - e - t π sen ⁡ π x

z t = - e - t cos ⁡ π x

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