Enunciado

1-6. Determine uma equação do plano tangente à superfície no ponto especificado.

1. z = 2 x 2 + y 2 - 5 y ,   ( 1 ,   2 ,   - 4 )

Passo 1

Para determinarmos uma equação do plano tangente à superfície em um ponto específico devemos, assim como discutido na seção 14.4 do Stewart, determinar:

z - z o = f x x o ,   y o x - x o + f y x o ,   y o y - y o

No qual os valores com subíndice " o " se tratam do ponto dado pelo enunciado. Sendo assim, o que devemos fazer de início é calcular essas derivadas parciais f x x o ,   y 0 e f y x 0 ,   y 0 , ok? Show!

Passo 2

A função que nos foi dada é:

f x ,   y = 2 x 2 + y 2 - 5 y

A derivada parcial em x seria:

f x = 4 x

Substituindo o ponto:

f x 1 ,   2 ,   - 4 = 4.1 = 4

E a derivada parcial em y seria:

f y = 2 y - 5

Substituindo o ponto:

f y 1 ,   2 ,   - 4 = 2.2 - 5 = - 1

Ok, encontramos o que queríamos!

Passo 3

Agora que já determinamos as derivadas parciais no ponto especificado, basta substituirmos z o = - 4 , y o = 2 e x o = 1 , saca só:

z - z o = f x x o ,   y o x - x o + f y x o ,   y o y - y o

z - - 4 = 4 . x - 1 - 1 . y - 2

z + 4 = 4 x - 4 - y + 2

Isolando z , teremos:

z = 4 x - y - 6

Que é a equação que queríamos.

Resposta

z = 4 x - y - 6

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