Enunciado

Determine se a função dada é biunívoca. Faça um esboço do gráfico da função.

f x = 2 x + 3

Passo 1

A questão pede para verificarmos se a função é biunívoca, isto é, se ela é injetora. Para que uma função seja inteira, diferentes valores de x devem dar, necessariamente, em diferentes valores de f ( x ) . Assim, devemos ter

s e   x 1 ≠ x 2 ⇒ f x 1 ≠ f ( x 2 )

Neste caso, temos que f x = 2 x + 3 . Note que o gráfico de f é uma reta crescente. Assim, a função é estritamente crescente. Quando uma função é estritamente crescente, não existem valores diferentes de x que dão o mesmo f ( x ) . Assim, f é biunívoca!

Para mostrar isso formalmente vamos fazer o seguinte. Sejam x 1 e x 2 dois pontos no domínio de f . Os valores da função nesses pontos são f x 1 e f ( x 2 ). Vamos supor que esses valores são iguais, isto é,

f x 1 = f ( x 2 )

Assim,

2 x 1 + 3 = 2 x 2 + 3

Desta forma,

2 x 1 = 2 x 2 ⇒ x 1 = x 2

Assim, vemos que se f x 1 = f ( x 2 ) , então necessariamente x 1 = x 2 . Isso significa que não existem x 1 ≠ x 2 tais que f x 1 = f ( x 2 ) , provando que f é de fato injetora.

Passo 2

O gráfico de f é dado a seguir:

Note que a função passa pelo teste da reta horizontal em todos os pontos!

Resposta

É biunívoca.

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