Enunciado

Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.

∑ n = 0 ∞ - 1 n 1,1 n n 4

Passo 1

Note que ali dentro da série temos algo diferente do que costumamos calcular por aqui, mas podemos usar o teste da razão da mesma maneira, e veja como vamos passar por esse ponto sem dificuldades:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n      

Temos que:

a n = 1,1 n n 4

E para sabermos a n + 1 basta somarmos um a todos os " n " de a n :

a n + 1 = 1,1 n + 1 ( n + 1 ) 4

Passo 2

Agora, vamos colocar nossas informações na formulinha do teste da razão:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 1,1 n + 1 ( n + 1 ) 4 1,1 n n 4

Note que podemos organizar essa epressão para resolvermos com mais facilidade:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 1,1 n + 1 ( n + 1 ) 4 ⋅ n 4 1,1 n = lim n → ∞ ⁡ 1,1 n 4 n + 1 4 = ( 1,1 ) lim n → ∞ ⁡ 1 ( n + 1 ) 4 n 4

Agora, já podemos tirar o modulo:

1,1 lim n → ∞   1 1 + 1 n 4 ⁡ = 1,1 ⋅ 1 = ( 1,1 ) > 1

Passo 3

Como:

( 1,1 ) > 1

Então, a série ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1,1 n n 4

é divergente pelo teste da razão.

Resposta

Divergente.

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Use o Teste da Raiz para determinar se a série é convergente ou divergente.25. ∑ n = 1 ∞ n 2 + 1 2 n 2 + 1 n
Use o Teste da Raiz para determinar se a série é convergente ou divergente.28. ∑ n = 1 ∞ - 2 n n + 1 5 n