Enunciado

Determine se a série converge ou diverge.

sum_(n = 1)^(oo) (1)/(2 n + 3)

Passo 1

Para saber se essa série converge, vamos usar o teste da comparação de limite.

Este teste funciona da seguinte forma, vamos comparar duas séries, uma de convergência conhecida b_n e outra não a_n e então calculamos o seguinte limite

underset(n -> oo)(lim) (a_n)/(b_n) = c

Se c for um número finito e c > 0 , ambas as séries convergem ou divergem.

Passo 2

Neste caso a série que queremos comparar é a de termo

a_n = (1)/(2 n + 3)

Para comparar usaremos a série harmônica multiplicado por 1 // 2 que é uma série muito próxima da que estamos analisando

b_n = (1)/(2 n)

Passo 3

Vamos calcular o limite

underset(n -> oo)(lim) (a_n)/(b_n) = underset(n -> oo)(lim) ((1)/(2 n + 3))/((1)/(2 n))

Fazendo a divisão de frações

= underset(n -> oo)(lim) (2 n)/(2 n + 3)

Colocando n em evidencia no denominador

underset(n -> oo)(lim) (2 n)/(2 n + 3) = underset(n -> oo)(lim) (2 n)/(n (2 + (3)/(n))) = underset(n -> oo)(lim) (2)/((2 + (3)/(n))) = 1

Como 1 > 0 e a série harmônica nós sabemos que diverge, nossa série

sum_(n = 1)^(oo) (1)/(2 n + 3)

Também diverge.

Resposta

Diverge.

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