∫ 0 4 4 x 2 + 9 d x

Passo 1

Lembra de trigonometria?? Então trigonometria é muitoo importante para resolver integral por causa das suas relações trigonométricas.

O fator dentro da raíz lembra uma relação trigonométrica bem importante né?

t g 2 θ + 1 = sec 2 ⁡ θ

Ué que que isso tem haver ??

Bem, presta atenção , vamos fazer

x   =   3 t g θ ,               θ ϵ [ - π 2 , π 2 ]

O termo dentro da raiz vai ficar

x 2 + 9 =   9 t g 2 θ + 9 = 3 t g 2 θ + 1 = 3 s e c θ

Gostou??

Passo 2

Então, derivando em relação a x a equação acima

d x d x = d   ( 3 t g θ ) d x = 3 sec 2 ⁡ θ d θ d x = 1   ⟹ d x = 3 sec 2 ⁡ θ d θ  

Substituindo na nossa integral

∫ 0 4 4 3 s e c θ 3 sec 2 ⁡ θ d θ = ∫ x = 0 x = 4 4 s e c θ d θ = 4 ln ⁡ t g θ + s e c θ

Passo 3

Voltando para nossa variável inicial

4 ln ⁡ t g θ + s e c θ = 4 ln ⁡ x 3 + x 2 9 + 1 ​ 0 → 4 = l n 81

Resposta

∫ 0 4 4 x 2 + 9 d x = l n 81

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