Enunciado

Encontre a área da região sob a curva y = 1 1 + e x acima do intervalo - ln ⁡ 5 , ln ⁡ 5 . Sugestão: Faça uma substituição que converta o integrando em uma função racional.

Passo 1

Então galera, para encontrarmos a área da região sob a curva em questão, basta encontrarmos o resultado da seguinte integral:

A = ∫ - ln ⁡ 5 ln ⁡ 5 d x 1 + e x

Para facilitar nosso desenvolvimento com essa integral, vamos utilizar a substituição:

u = e x

Disso tiramos que:

d u = e x d x

Substituindo na nossa integral, teremos:

∫ - ln ⁡ 5 ln ⁡ 5 d x 1 + e x = ∫ - ln ⁡ 5 ln ⁡ 5 d u u 1 + u

Como o denominador é um produto, vamos utilizar frações parciais para facilitar mais ainda nossa integração, ok? Bora lá!

Passo 2

Para o integrando que encontramos, podemos fazer:

1 u 1 + u = A u + B 1 + u

Fazendo MMC, teremos:

1 = A 1 + u + B u

1 = A + u A + B

Comparando os graus em ambos os lados da igualdade, teremos:

A = 1 A + B = 0

Disso tiramos que B = - 1 . Substituindo os valores encontrados, teremos:

1 u 1 + u = 1 u - 1 1 + u

Então a integral que temos que resolver é:

∫ - ln ⁡ 5 ln ⁡ 5 d u u 1 + u = ∫ - ln ⁡ 5 ln ⁡ 5 1 u - 1 1 + u d u

Show, agora sim!

Passo 3

Como em ambos os termos temos u no denominador, então o resultado da integral será:

∫ - ln ⁡ 5 ln ⁡ 5 1 u - 1 1 + u d u = ln ⁡ u - ln ⁡ 1 + u ln ⁡ 5 - ln ⁡ 5

Mas como u = e x , então:

ln ⁡ u - ln ⁡ 1 + u ln ⁡ 5 - ln ⁡ 5 = ln ⁡ e x - ln ⁡ 1 + e x ln ⁡ 5 - ln ⁡ 5

Aplicando os intervalos de integração, nossa área será:

A = ∫ - ln ⁡ 5 ln ⁡ 5 d x 1 + e x = ln ⁡ 5   u . a

E esse é o nosso resultado, pessoal! 😉

Resposta

A = ln ⁡ 5   u . a

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