Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart - Capítulo 7.4 - Ex. 65

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Encontre a área da região sob a curva dada de 1 até 2 .

y = x 2 + 1 3 x - x 2

Passo 1

Como a questão pede a área sob o gráfico da curva, basta fazer a integral

A R E A = ∫ 1 2 x 2 + 1 3 x - x 2 d x

Antes de usarmos frações parciais, note que o grau do denominador é igual ao numerador: precisamos fazer a divisão de polinômios. Assim,

x 2 + 1 = - 3 x - x 2 + 3 x + 1

De modo que

x 2 + 1 3 x - x 2 = - 1 + 3 x + 1 3 x - x 2

Portanto,

A R E A = ∫ 1 2 - 1 + 3 x + 1 3 x - x 2 d x = - 1 - ∫ 1 2 3 x + 1 x 2 - 3   d x

Passo 2

Para calcular a integral que falta vamos usar frações parciais:

3 x + 1 x 2 - 3 = 3 x + 1 x   x - 3 = A x + B x - 3 = A x - 3 A + B x x 2 - 3 x

Assim,

A + B = 3 - 3 A = 1

Logo, A = - 1 / 3 e B = 10 / 3 . Portanto,

∫ 1 2 3 x + 1 x 2 - 3   d x = 1 3 ∫ 1 2 10 x - 3 - 1 x d x = 10 3 ln ⁡ x - 3 - 1 3 ln ⁡ x 1 2 = - 1 3 ln ⁡ 2 - 10 3 ln ⁡ 2

Assim,

∫ 1 2 3 x + 1 x 2 - 3   d x = - 11 3 ln ⁡ 2

Logo,

A R E A = - 1 + 11 3 ln ⁡ 2

Resposta

- 1 + 11 3 ln ⁡ 2

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