Enunciado

Encontre a área da regiao sombreada, onde r = 4 + 3 s e n ( theta ) .

Passo 1

Em coordenadas polares temos que a área de uma região é dada pela integral int_a^b (1)/(2) r (theta)^2 d theta onde r e a função que determina como o raio da curva varia em relação ao ângulo no intervalo [ a , b ] .No caso, esta bem explícito qual a função porem, usando a imagem como referência, precisamos descobrir qual o intervalo que sera o domínio de integração.

Teremos que int_a^b (1)/(2) r (theta)^2 d theta = R (b) - R ( a ) onde R é uma primitiva de (1)/(2) r (theta)^2 , ou seja, se derivarmos R teremos a função dentro da integral.

Passo 2

Na figura, a área sombreada esta no primeiro e quarto quadrantes, como o ângulo parte do 0 e começa no primeira quadrante, o ângulo parte de – (pi)/(2) , já que começa um quarto de volta antes do inicio e termina em (pi)/(2) .

Portanto, o intervalo para a área sombreada sera [- (pi)/(2) , (pi)/(2)] .

Passo 3

Como a expressão do raio e dada, já podemos calcular a integral:

int_a^b (1)/(2) r (theta)^2 d theta = int_((- pi)/(2))^((pi)/(2)) (1)/(2) ( 4 + 3 s e n (theta) )^2 d theta = int_((- pi)/(2))^((pi)/(2)) 8 + 12 s e n (theta) + (9 s e n^2 (theta))/(2) d theta

Pelas propriedades de integral, podemos separar em três integrais:

= int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) 8 d theta + int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) 12 s e n ( theta ) d theta + int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) (9 s e n (theta)^2)/(2) d theta

A primeira e a segunda sao simples, já a terceira precisa de uma substituição, vamos lá:

Usando as relações: s e n^2 (theta) + cos^2 (theta) = 1 e a fórmula do arco duplo do cosseno: cos (2 theta) = cos^2 (theta) - s e n^2 ( theta ) . Passando o seno ao quadrado para o outro lado, substituindo e simplificando, temos:

s e n^2 (theta) = (1 - cos (2 theta))/(2)

Passo 4

Resolvendo a primeira integral:

int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) 8 d theta = 8 ((pi)/(2) + (pi)/(2)) = 8 pi

Resolvendo a segunda integral, lembrando que uma primitiva de seno é - c o s ( theta ) :

int_((- pi)/(2))^((pi)/(2)) 12 s e n (theta) d theta = 12 ( - cos ((pi)/(2)) + cos ((- pi)/(2)) ) = 0

Resolvendo a terceira, usando a substituição e lembrando que uma primitiva de cos (2 theta) é (s e n (2 theta))/(2) :

int_((pi)/(2))^(pi) (9 s e n (theta)^2)/(2) d theta = int_(- (pi)/(2))^((pi)/(2)) (9 ( 1 - cos (2 theta) ))/(4) d theta = int_((- pi)/(2))^((pi)/(2)) (9)/(4) d theta - int_((- pi)/(2))^((pi)/(2)) (9 cos (2 theta))/(4) d theta )

= (9 pi)/(4) - (9)/(4) ((s e n (pi))/(2) - (s e n (- pi))/(2)) = (9 pi)/(4)

Resposta

Logo, a resposta sera a soma de todas as integrais: 8 pi + (9 pi)/(4) = (41 pi)/(4)

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Encontre a área da região sombreada:
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Esboce a curva e encontre a área que ela encerra:12. r = 2 - c o s θ
Encontre todos os pontos de inserção das curvas dadas.37. r = s e n θ , r = 1 - s e n θ
Encontre a área da região que está dentro da primeira curva e fora da segunda curva.28. r = 3 s e n θ , r = 2 - s e n θ