Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 10.4 - Ex. 7
Encontre a área da regiao sombreada, onde .
Passo 1
Em coordenadas polares temos que a área de uma região é dada pela integral onde r e a função que determina como o raio da curva varia em relação ao ângulo no intervalo .No caso, esta bem explícito qual a função porem, usando a imagem como referência, precisamos descobrir qual o intervalo que sera o domínio de integração.
Teremos que onde é uma primitiva de , ou seja, se derivarmos teremos a função dentro da integral.
Passo 2
Na figura, a área sombreada esta no primeiro e quarto quadrantes, como o ângulo parte do 0 e começa no primeira quadrante, o ângulo parte de , já que começa um quarto de volta antes do inicio e termina em
Portanto, o intervalo para a área sombreada sera
Passo 3
Como a expressão do raio e dada, já podemos calcular a integral:
Pelas propriedades de integral, podemos separar em três integrais:
A primeira e a segunda sao simples, já a terceira precisa de uma substituição, vamos lá:
Usando as relações: e a fórmula do arco duplo do cosseno: . Passando o seno ao quadrado para o outro lado, substituindo e simplificando, temos:
Passo 4
Resolvendo a primeira integral:
Resolvendo a segunda integral, lembrando que uma primitiva de seno é :
Resolvendo a terceira, usando a substituição e lembrando que uma primitiva de :
Resposta
Logo, a resposta sera a soma de todas as integrais:
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