Enunciado

Encontre o centroide da região.

A região delimitada pelos gráficos de y = x 2 e y = x + 2 .

Passo 1

A ideia aqui é encontrar o centroide usando nossa fórmulinha:

x - = 1 á r e a   d e   R   ∫ a b x ( f x - g x ) d x

y - = 1 á r e a   d e   R   ∫ a b 1 2 f x 2 - g x 2 d x

Passo 2

Vamos tentar achar os limitantes dessa região no eixo x e no eixo y .

Em x , precisamos igualar as duas equações:

y = x 2 ,     y = x + 2

x 2 = x + 2

Resolvendo a equação:

x = - 1 ,     x = 2

Podemos então dizer que:

- 1 < x < 2

Para y , eu vou te dar um bizu. Sempre que tem uma parábola e uma reta, é só olhar a concavidade da parábola para saber se ela limita região por cima ou por baixo. Como a concavidade está voltada para cima, para essa região ser fechada, a reta precisa limitar a região por cima e a parábola por baixo.

Passo 3

Vamos achar as coordenadas do centroide por integração. Primeiro a coordenada x - :

x - = 1 á r e a   d e   R   ∫ a b x ( f x - g x ) d x

No eixo y , nossa região está entre y = f x = 2 + x (por cima) e y = g x = x 2 (por baixo). E em x , entre 0 e 2 .

A gente pode calcular a área pela integral:

á r e a   d e   R = ∫ - 1 2 2 + x - x 2 d x = 9 2

Nossa integral fica:

x - = 2 9   ∫ - 1 2 x ( 2 + x - x 2 ) d x

Fazendo a distributiva e calculando a integral de polinômios:

x - = 1 2

Passo 4

Agora a coordenada y - :

y - = 1 á r e a   d e   R   ∫ a b 1 2 f x 2 - g x 2 d x

y - = 2 9 ∫ - 1 2 1 2 2 + x 2 - x 4 d x

Elevando a função ao quadrado e calculando a integral de polinômios que aparecer:

y - = 8 5

Resposta

x - , y - = 1 2 , 8 5

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