Enunciado

A função velocidade (em metros por segundo) é dada para uma partícula movendo-se ao longo de uma reta. Ache (a) o deslocamento e (b) a distância pecorrida pela partícula durante o intervalo de tempo dado.

v t = t 2 - 2 t - 8 , 1 ≤ t ≤ 6

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos dá a seguinte função que expressa a velocidade em função do tempo t de uma partícula ao longo de uma linha reta:

v t = t 2 - 2 t - 8

Para 1 ≤ t ≤ 6 .

Queremos encontrar o deslocamento e a distância pecorrida pela partícula durante o intervalo de tempo dado.

Para isso, devemos integrar a expressão, pois o deslocamento é a antiderivada da velocidade!!

A seguir a gente vai ver a diferença entre os dois questionamentos que a questão está pedindo.

E aí?? Bora lá?? 😉

Passo 2

  1. Vamos lá, queremos o descolamento, devemos lembrar que o deslocamento é encontrado integrando a função velocidade, e foi pedido para encontrar no intervalo de tempo 1 ≤ t ≤ 6 , esses são os nossos limites de integração, vamos calcular então:
  2. ∫ 1 6 t 2 - 2 t - 8   d t

    Vamos agora calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

    ∫ t 2 - 2 t - 8     d t = ∫ t 2   d t + ∫ - 2 t   d t + ∫ - 8   d t

    Agora é fácil achar as primitivas de cada função, usando três expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

    ∫ c f x d x = c ∫ f x d x

    ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C   n ≠ - 1

    ∫ k d x = k x + C

    Passo 3

    Agora é só aplicar, vamos resolver elas separadamente, assim fica mais simples de ver:

    ∫ t 2   d t = t 2 + 1 2 + 1 = t 3 3 + C

    ∫ - 2 t   d t = - 2 ∫ t   d t = - 2 ∙ t 1 + 1 1 + 1 = - 2 t 2 2 = - t 2 + C

    ∫ - 8   d t = - 8 t + C

    Pronto, já encontramos a integral indefinida, perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral.

    Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

    ∫ a b f x d x = F b - F a

    Ficamos então com:

    ∫ 1 6 t 2 - 2 t - 8   d t = t 3 3 1 6 + - t 2 1 6 + - 8 t 1 6

    = 6 3 3 - 1 3 3 + - 6 2 - - 1 2 + - 8.6 - - 8.1

    = 215 3 + - 35 + - 40

    = - 10 3

    Passo 4

  3. Para calcular a distância pecorrida pela partícula devemos resolver a mesma integral, com a diferença da função estar em módulo:

∫ 1 6 t 2 - 2 t - 8   d t = ∫ 1 6 t - 4 t + 2

Ixiii, temos um módulo alí na função, mas calma, só precisamos analisar esse módulo e vai da tudo certo.

Veja bem, o que temos que fazer é separar essa integral, para isso vamos usar a seguinte propriedade, que combina integrais da mesma função em intervalos adjacentes:

∫ a c f x d x + ∫ c b f x d x = ∫ a b f x d x

Pronto, vamos usar!! Vemos que a função é negativa quando t < 4 , vamos então usar o limite de integração de 1 a 4 com a função t 2 - 2 t - 8 = - t 2 - 2 t - 8 = - t 2 + 2 t + 8 ; e ela é positiva quando t > 4 , vamos então usar o limite de integração de 4 a 6 com a função t 2 - 2 t - 8 = t 2 - 2 t - 8 :

∫ 1 6 t 2 - 2 t - 8   d t = ∫ 1 4 - t 2 + 2 t + 8   d t + ∫ 4 6 t 2 - 2 t - 8   d t

Passo 3

Viu? Agora fica simples de resolver, vamos fazer separademente, para não confundir:

∫ 1 4 - t 2 + 2 t + 8   d t = - 1 ∙ t 2 + 1 2 + 1 + 2 ∙ t 1 + 1 1 + 1 + 8 t 1 4

= - t 3 3 + t 2 + 8 t 1 4

= - 4 3 3 + 4 2 + 8.4 - - 1 3 3 + 1 2 + 8.1

= 80 3 - 26 3 = 18

E

∫ 4 6 t 2 - 2 t - 8   d t = 1 ∙ t 2 + 1 2 + 1 - 2 ∙ t 1 + 1 1 + 1 - 8 t 4 6

= t 3 3 - t 2 - 8 t 4 6

= 6 3 3 - 6 2 - 8.6 - 4 3 3 - 4 2 - 8.4

= - 12 - - 80 3 = 44 3

Juntando os resultados, obtemos:

∫ 1 6 t 2 - 2 t - 8   d t = ∫ 1 4 - t 2 + 2 t + 8   d t + ∫ 4 6 t 2 - 2 t - 8   d t = 18 + 44 3 = 98 3

Resposta

  1. O deslocamento é - 10 3 m.
  2. A distância pecorrida pela partícula durante o intervalo de tempo dado é 98 3 m.
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Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.14) h ( x ) = ∫ 1 x z 2 z 4 + 1 . d z
Calcule a integral:23) ∫ 0 1 x 4 5 . d x
Calcule a integral:36) ∫ 1 18 3 z . d z
Calcule a integral:42) ∫ 1 2 1 2 4 1 - x ² . d x ²
Calcule a integral:24) ∫ 1 8 x 3 . d x