Encontre a derivada da função.

58) F x = ∫ x 2 x - t g - 1 ( t ) . d t

Passo 1

Bom galera, antes de começar vamos pensar no que precisamos achar. Neste caso, devemos achar a derivada da função F.

Como faremos? Podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Mas para poder usá-lo, devemos ter somente uma variável por integral. Então vamos manipular um pouquinho, ok?

∫ x 2 x - t g - 1 ( t ) . d t = ∫ x 0 - t g - 1 ( t ) . d t + ∫ 0 2 x - t g - 1 ( t ) . d t

Ainda não está bem no formato que precisamos, então bora manipular mais um pouco:

= - ∫ 0 x - t g - 1 ( t ) . d t + ∫ 0 2 x - t g - 1 ( t ) . d t

= + ∫ 0 x t g - 1 ( t ) . d t - ∫ 0 2 x t g - 1 ( t ) . d t

Agora sim ! Vamos resolver separadamente cada uma.

Passo 2

Começando por:

h x = ∫ 0 x t g - 1 ( t ) . d t

Vamos fazer uma substituição:

u = x = x 1 2

Se queremos a derivada de h em função de x podemos usar a Regra da Cadeia:

d h ( x ) d x = d h ( x ) d u . d u d x

Então primeiro vamos derivar h(x) em função de u:

d h ( x ) d u = ∫ 0 u t g - 1 ( t ) . d t

Neste caso vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, ok?

d h ( x ) d u = t g - 1 ( u )

Substituindo u:

d h ( x ) d u = t g - 1 ( x 1 2 )

Agora nos falta achar d u d x :

d u d x = 1 2 x - 1 2 = 1 2 x

Mas não é bem isso que queremos, certo? Vamos jogar tudo isso na Regra da Cadeia:

h ' x = 1 2 x × t g - 1 ( x )

Então:

h ' x = t g - 1 ( x ) 2 x

Ok! Finalizamos a primeira integral, mas F é composta de duas !

Passo 3

Agora vamos para :

t x = ∫ 0 2 x t g - 1 ( t ) . d t

Vamos fazer uma substituição:

u = 2 x

Se queremos a derivada de t em função de x podemos usar a Regra da Cadeia:

d t ( x ) d x = d t ( x ) d u . d u d x

Então primeiro vamos derivar t(x) em função de u:

d t ( x ) d u = ∫ 0 u t g - 1 ( t ) . d t

Neste caso vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, ok?

d t ( x ) d u = t g - 1 ( u )

Substituindo u:

d t ( x ) d u = t g - 1 ( 2 x )

Agora nos falta achar d u d x :

d u d x = 2

Mas não é bem isso que queremos, certo? Vamos jogar tudo isso na Regra da Cadeia:

t ' x = 2 t g - 1 ( 2 x )

Ufaa! Agora vamos juntar!

F ' x = t g - 1 ( x ) 2 x - 2 t g - 1 ( 2 x )

Prontinhoo!

Resposta

F ' x = t g - 1 ( x ) 2 x - 2 t g - 1 ( 2 x )

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