Enunciado

Encontre a derivada da função.

58) F (x) = int_(sqrt(x))^(2 x) - t g^(- 1) ( t ) . d t

Passo 1

Bom galera, antes de começar vamos pensar no que precisamos achar. Neste caso, devemos achar a derivada da função F.

Como faremos? Podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Mas para poder usá-lo, devemos ter somente uma variável por integral. Então vamos manipular um pouquinho, ok?

int_(sqrt(x))^(2 x) - t g^(- 1) ( t ) . d t = int_(sqrt(x))^0 - t g^(- 1) ( t ) . d t + int_0^(2 x) - t g^(- 1) ( t ) . d t

Ainda não está bem no formato que precisamos, então bora manipular mais um pouco:

= - int_0^(sqrt(x)) - t g^(- 1) ( t ) . d t + int_0^(2 x) - t g^(- 1) ( t ) . d t

= + int_0^(sqrt(x)) t g^(- 1) ( t ) . d t - int_0^(2 x) t g^(- 1) ( t ) . d t

Agora sim ! Vamos resolver separadamente cada uma.

Passo 2

Começando por:

h (x) = int_0^(sqrt(x)) t g^(- 1) ( t ) . d t

Vamos fazer uma substituição:

u = sqrt(x) = x^((1)/(2))

Se queremos a derivada de h em função de x podemos usar a Regra da Cadeia:

(d h ( x ))/(d x) = (d h ( x ))/(d u) . (d u)/(d x)

Então primeiro vamos derivar h(x) em função de u:

(d h ( x ))/(d u) = int_0^u t g^(- 1) ( t ) . d t

Neste caso vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, ok?

(d h ( x ))/(d u) = t g^(- 1) ( u )

Substituindo u:

(d h ( x ))/(d u) = t g^(- 1) ( x^((1)/(2)) )

Agora nos falta achar (d u)/(d x) :

(d u)/(d x) = (1)/(2) x^(- (1)/(2)) = (1)/(2 sqrt(x))

Mas não é bem isso que queremos, certo? Vamos jogar tudo isso na Regra da Cadeia:

h^' (x) = (1)/(2 sqrt(x)) xx t g^(- 1) ( sqrt(x) )

Então:

h^' (x) = (t g^(- 1) ( sqrt(x) ))/(2 sqrt(x))

Ok! Finalizamos a primeira integral, mas F é composta de duas !

Passo 3

Agora vamos para :

t (x) = int_0^(2 x) t g^(- 1) ( t ) . d t

Vamos fazer uma substituição:

u = 2 x

Se queremos a derivada de t em função de x podemos usar a Regra da Cadeia:

(d t ( x ))/(d x) = (d t ( x ))/(d u) . (d u)/(d x)

Então primeiro vamos derivar t(x) em função de u:

(d t ( x ))/(d u) = int_0^u t g^(- 1) ( t ) . d t

Neste caso vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo, ok?

(d t ( x ))/(d u) = t g^(- 1) ( u )

Substituindo u:

(d t ( x ))/(d u) = t g^(- 1) ( 2 x )

Agora nos falta achar (d u)/(d x) :

(d u)/(d x) = 2

Mas não é bem isso que queremos, certo? Vamos jogar tudo isso na Regra da Cadeia:

t^' (x) = 2 t g^(- 1) ( 2 x )

Ufaa! Agora vamos juntar!

F^' (x) = (t g^(- 1) ( sqrt(x) ))/(2 sqrt(x)) - 2 t g^(- 1) ( 2 x )

Prontinhoo!

Resposta

F^' (x) = (t g^(- 1) ( sqrt(x) ))/(2 sqrt(x)) - 2 t g^(- 1) ( 2 x )

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