Enunciado

Os Exercícios 1-18 fornecem equações paramétricas e intervalos de parâmetro para o movimento de uma partícula no plano x y . Identifique a trajetória da partícula encontrando a equação cartesiana para ela. Desenhe o gráfico de cartesiana (os gráficos irão variar conforme a equação utilizada). Indique a parte do gráfico percorrida pela partícula e a direção do movimento.

13. x = t ,   y = 1 - t 2 ,     - 1 ≤ t ≤ 0

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

No início da tarefa, vamos observar que a variável x pode assumir valores entre - 1 e 0 (porque a variável x é igual ao parâmetro t ), ou seja,

x ∈ - 1,0

Como o parâmetro t é igual a x , então se incluirmos x na equação que contém y , obtemos:

y = 1 - x 2 ,     x ∈ - 1,0       ( 1 )

A raiz quadrada é uma função não negativa. Portanto, devido a 1 - x 2 , concluímos que y ≥ 0 . Para facilitar o desenho da equação cartesiana, vamos elevar ao quadrado a expressão (1):

y 2 = 1 - x 2 ,     x ∈ - 1,0

Com isso, nós temos que

x 2 + y 2 = 1

Como y é não negativo y = 1 - x 2 , vamos desenhar a parte do círculo acima do eixo x .

Como t assume valores dentro do intervalo [ - 1,0 ] , então x também assume valores dentro desse mesmo intervalo. Portanto, concluímos que x pode assumir apenas valores negativos.

Passo 2

Se desenharmos esses pontos no círculo, obtemos a direção do movimento da partícula:

Determinamos a direção do movimento da partícula para que as setas passassem de valores menores do parâmetro t para valores maiores.

Resposta

y = 1 - x 2 ,     x ∈ [ - 1,0 ]

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