Enunciado

(a) Encontre a excentricidade e a diretriz da cônica

r = 1 1 - 2   s e n   θ

e trace a cônica e sua diretriz.

(b) Se a cônica girar no sentido anti-horário em torno da origem por um ângulo 3 π 4 , escreva a equação resultante e trace sua curva.

Passo 1

(a) Bom, galera. Vamos tentar descobrir a excentricidade. Pra isso, a gente tem que comparar a equação do enunciado com uma equação mais geral para cônicas:

r = e d 1 - e   s e n   θ           e           r = 1 1 - 2   s e n   θ

Olhando pro denominador, o termo que acompanha s e n   θ é:

e = 2

Passo 2

Beleza! Pra achar a diretriz, primeiro a gente repara que a equação tem o termo “ - e   s e n   θ ”, e isso significa que a equação da reta diretriz é da seguinte forma:

y = - d

Então a gente descobre quem é d olhando pro numerador, beleza?

e d = 1

d = 1 e = 1 2

Show! A equação da reta diretriz fica assim:

y = - 1 2

Bora traçar essa cônica com a diretriz?

Passo 3

(b) Galera, agora a gente vai ter que rotacionar a cônica de um ângulo e escrevermos uma nova equação pra ela. Mas como a gente faz isso?

Lembre-se do seguinte, se tivermos uma função f θ , e quisermos girar o gráfico dessa função de um ângulo α no sentido anti-horário, a nova função vai ser da forma f θ - α .

Na prática, é só pegar nossa equação original, e tudo que for θ , a gente substitui por θ - α , beleza?

r = 1 1 - 2   s e n   θ

r = 1 1 - 2   s e n   ( θ - α )

No nosso caso, α = 3 π 4   :

r = 1 1 - 2   s e n   ( θ - 3 π 4 )

Agora olha a cônica traçada a partir dessa nova equação, veja que ela é uma hipérbole rotacionada, como esperávamos:

Resposta

(a) e = 2

y = - 1 2

(b) r = 1 1 - 2   s e n   ( θ - 3 π 4 )

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