Enunciado

Esboce a curva com a equação dada.

r = 1 - 2 sen ⁡ θ

Passo 1

Opa, tudo bem? Bom... o enunciado nos deu a seguinte equação polar:

r = 1 - 2 sen ⁡ θ

Nas equações polares o r representa a distância do ponto até a origem e o θ o ângulo do ponto em relação ao eixo horizontal positivo.

Queremos esboçar esse gráfico.

Então como faremos isso???

Bom... Nessa equação não temos um termo constante, e não vai ser tão simples mudar para coordenadas cartesianas, e mesmo assim não seria uma equação que reconheceríamos como algo conhecido...

Então vamos colocar alguns valores para θ e substituir na equação a fim de analisarmos o seu comportamento!! 😉

Passo 2

Primeiramente calculamos valores de r para alguns valores de θ :

r θ = 1 - 2 sen ⁡ θ

Vamos calcular para θ = 0 :

r 0 = 1 - 2 sen ⁡ 0

r 0 = 1

Para θ = π 2 :

r π 2 = 1 - 2 sen ⁡ π 2

r π 2 = - 1

Para θ = π :

r π = 1 - 2 sen ⁡ π

r π = 1

Para θ = 3 π 2 :

r 3 π 2 = 1 - 2 sen ⁡ 3 π 2

r 3 π 2 = 1 - 2 - 1

r 3 π 2 = 3

Para θ = 2 π :

r 2 π = 1 - 2 sen ⁡ 2 π

r 2 π = 1

Passo 3

Para fazer a análise desses valores, vamos precisar analisar o círculo trigonométrico para a função seno com seus valores:

Assim, podemos observar que:

  • No primeiro quadrante o sen ⁡ θ varia de 0 a 1 e a função 1 - 2 sen ⁡ θ varia de 1 a - 1 ;
  • No segundo quadrante o sen ⁡ θ varia de 1 a 0 e a função 1 - 2 sen ⁡ θ varia de - 1 a 1 ;
  • No terceiro quadrante o sen ⁡ θ varia de 0 a - 1 e a função 1 - 2 sen ⁡ θ varia de 1 a 3 ;
  • E no quarto quadrante o sen ⁡ θ varia de - 1 a 0 e a função 1 - 2 sen ⁡ θ varia de 3 a 1 .

Se nós considerarmos os valores negativos da função como uma distância no sentido oposto, teremos o seguinte gráfico:

Se desconsiderarmos todos os valores negativos da função, teremos o seguinte gráfico:

Resposta

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Investigue a família de curvas dada por r = 1 + c o s n θ onde n é um inteiro positivo. Como muda o formato quando n aumenta? O que acontece quando n se torna maior? Explique a forma para o n maior co
67-72. Use uma ferramenta gráfica para traçar a curva polar. Escolha o intervalo do parâmetro para ter certeza de que você fez a curva inteira.70. r = t gθ c o t gθ (curva valentina)
67-72. Use uma ferramenta gráfica para traçar a curva polar. Escolha o intervalo do parâmetro para ter certeza de que você fez a curva inteira.71. r = 1 + cos 999 ⁡ θ (curva de PacMan)
67-72. Use uma ferramenta gráfica para traçar a curva polar. Escolha o intervalo do parâmetro para ter certeza de que você fez a curva inteira.72. r = s e n 2 4 θ + c o s ⁡ ( 4 θ )
9-16. Esboce a curva polar.10. r = s e n 4 theta