Enunciado

Esboce a curva com a equação dada.

r 2 = 9 sen ⁡ 2 θ

Passo 1

Oiii, tudo bem? Bom... o enunciado nos deu a seguinte equação polar:

r 2 = 9 sen ⁡ 2 θ

Nas equações polares o r representa a distância do ponto até a origem e o θ o ângulo do ponto em relação ao eixo horizontal positivo.

Queremos esboçar esse gráfico.

Então como faremos isso???

Bom... Nessa equação não temos um termo constante, e não vai ser tão simples mudar para coordenadas cartesianas, e mesmo assim não seria uma equação que reconheceríamos como algo conhecido...

Então vamos colocar alguns valores para θ e substituir na equação a fim de analisarmos o seu comportamento!! 😉

Passo 2

Primeiramente vamos manipular a equação para isolar o r sem expoente

r 2 = 9 sen ⁡ 2 θ

Aplicando a raiz quadrada em ambos os lados temos:

r θ = 9 sen ⁡ 2 θ = 3 sen ⁡ 2 θ

Agora calculando os valores da função para alguns valores:

Para θ = 0 :

r 0 = 9 sen ⁡ 2 ⋅ 0

r 0 = 3 0

r 0 = 0

Para θ = π 2 :

r π 2 = 9 sen ⁡ 2 ⋅ π 2

r π 2 = 3 sen ⁡ π

r π 2 = 3 0

r π 2 = 0

Para θ = π :

r π = 9 sen ⁡ 2 π

r π = 3 0

r π = 0

Para θ = 3 π 2 :

r 3 π 2 = 9 sen ⁡ 3 π

r 3 π 2 = 3 0

r 3 π 2 = 0

Para θ = 2 π :

r 2 π = 9 sen ⁡ 4 π

r 2 π = 3 0

r 2 π = 0

Passo 3

Para analisar isso, precisaremos ter dar uma olhadinha no círculo trigonométrico para a função seno:

No primeiro quadrante o argumento do seno varia de 0 a π , por conta do dois multiplicando dentro o argumento, e o valor do seno vai de 0 a 1 e retronando ao 0 .

No segundo quadrante o argumento varia de π a 2 π , e nesse intervalo o seno assume valores negativos, dentro da raiz a função não assume valores reais.

No terceiro quadrante o argumento varia de 2 π a 3 π e assim como no primeiro o valor do seno vai de 0 a 1 e retronando ao 0 .

E no quarto assim como no segundo a função não assume valores reais.

Então vamos ao esboço:

Resposta

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