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Encontre o limite.

lim t → 0 ⁡ sen 2 ⁡ 3 t t 2

Passo 1

Como

lim θ → 0 ⁡ sen 2 ⁡ 3 t = 0

E

lim θ → 0 ⁡ t 2 = 0

Temos então, uma indeterminação do tipo 0 0 .

Passo 2

Vamos manipular a função para podermos eliminar a indeterminação:

lim t → 0 ⁡ sen 2 ⁡ 3 t t 2 = lim t → 0 ⁡ 3 2 sen 2 ⁡ 3 t 3 2 t 2 = lim t → 0 ⁡ 3 sen ⁡ 3 t 3 t 2 = lim t → 0 ⁡ 3 sen ⁡ 3 t 3 t 2

Passo 3

Para o limite lim t → 0 ⁡ 3 sen ⁡ 3 t 3 t temos:

-Se aplicarmos a troca de variáveis w = 3 t ou, de modo que quando t → 0 então w → 0 e t ≠ 0 implica em w ≠ 0 , logo:

lim t → 0 ⁡ 3 sen ⁡ 3 t 3 t = lim w → 0 ⁡ 3 sen ⁡ w w

Já que o limite do produto é igual ao produto dos limites:

lim t → 0 ⁡ 3 sen ⁡ w w = lim w → 0 ⁡ 3 × lim w → 0 ⁡ sen ⁡ w w = 3 lim w → 0 ⁡ sen ⁡ w w

Com base no limite fundamental: lim t → 0 ⁡ sen ⁡ t t = 1 então lim w → 0 ⁡ sen ⁡ w w = 1 . Assim:

lim t → 0 ⁡ 3 sen ⁡ 6 t 3 t = 3

Passo 4

Logo:

lim t → 0 ⁡ sen 2 ⁡ 3 t t 2 = lim t → 0 ⁡ 3 sen ⁡ 3 t 3 t 2 = 3 2

lim t → 0 ⁡ sen 2 ⁡ 3 t t 2 = 9

Resposta

lim t → 0 ⁡ sen 2 ⁡ 3 t t 2 = 9

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lim x → 0 ⁡ 1 -   cos ⁡ x x 2
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lim t → 0 + ⁡ sin ⁡ t t 2
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